(
课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆 新课导入 当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？ 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的 均沿着圆的切线的方向飞出． 3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆 教学过程内容 第1页：复习导入（约5分钟） 1. 回顾旧知：提问学生“直线与圆有几种位置关系？如何判定？”引导学生回忆直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，以及通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系（d＜r相交、d＝r相切、d＞r相离）进行判定的方法。 2. 引出课题：展示生活中的切线实例（如转动的车轮与地面的接触、砂轮打磨工件的火花轨迹），提问“除了用距离法，还有没有其他方法判定直线是圆的切线？”顺势引出本节课主题———切线的判定与三角形的内切圆。 第2-3页：新知探究一：切线的判定定理（约15分钟） 1. 动手操作：让学生在练习本上画一个圆O，在圆上取一点A，连接OA（半径），过点A画一条直线l垂直于OA。引导学生观察：直线l与圆O有几个交点？（只有一个交点A） 2. 猜想定理：基于操作结果，提问“结合刚才的操作，你认为满足什么条件的直线是圆的切线？”引导学生总结：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 定理辨析：展示两个反例图形（①直线过半径外端但不垂直于半径；②直线垂直于半径但不过外端），让学生判断是否为切线，强化“两个条件缺一不可”的认知。 4. 符号表示：给出圆O、半径OA、直线l⊥OA于A，引导学生用符号语言表述定理：∵ OA是⊙O的半径，l⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线。 第4-5页：例题讲解一：切线判定的应用（约10分钟） 例题1：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝45°，AB⊥CD于点D。求证：CD是⊙O的切线。 分析引导：① 要证CD是切线，需满足什么条件？（找到半径，证明直线垂直于半径外端）② 已知AB是直径，点C在圆上，连接OC，OC即为半径；③ 需证明OC⊥CD，结合AB⊥CD，可转化为证明OC∥AB？或利用角度关系证明∠OCD＝90°。 规范证明：连接OC ∵ OC＝OB（⊙O的半径） ∴ ∠OCB＝∠ABC＝45° ∴ ∠AOC＝∠OCB＋∠ABC＝90° 又∵ AB⊥CD ∴ ∠CDB＝90° ∴ ∠AOC＝∠CDB ∴ OC∥CD？（修正：∠AOC＝90°，AB⊥CD则∠ODC＝90°，故∠OCD＝90°） ∵ OC是⊙O的半径，OC⊥CD ∴ CD是⊙O的切线。 小结方法：判定切线的两种思路——— 已知直线与圆有公共点：连半径，证垂直；② 未知公共点：作垂直，证半径。 第6-7页：新知探究二：三角形的内切圆（约15分钟） 1. 问题引入：提问“能否作一个圆，使它与三角形的三条边都相切？”引导学生思考：这样的圆的圆心到三条边的距离有什么关系？（等于半径，且到三条边距离相等的点是三角形内角平分线的交点） 2. 作图演示：在黑板上画一个△ABC，作∠A、∠B的内角平分线，交于点I。过点I作ID⊥AB于D，以I为圆心、ID为半径画圆，观察圆与△ABC三条边的位置关系（均相切）。 3. 概念总结：① 与三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆；② 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点；③ 内心的性质：到三角形三条边的距离相等，且在三角形内部。 4. 符号与公式：给出△ABC的内心I，内切圆半径r，引导学生得出三角形面积公式：S△ABC＝ （AB＋BC＋AC）·r（利用内心到三边距离相等，将三角形分成三个等高的小三角形，面积相加）。 第8-9页：例题讲解二：三角形内切圆的应用（约10分钟） 例题2：如图，△ABC的内切圆⊙I与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，已知AB＝10cm，BC＝14cm，AC＝12cm，求内切圆半径r。 分析引导：① 由切线长定理（回顾： ... ...
