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课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.7 切线长定理 新课导入 过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看. O P 2 条 切线长定理教学课件教学过程内容 第1页：情境导入（约200字） 同学们，上节课我们已经学习了直线与圆相切的性质和判定定理，知道了圆的切线垂直于过切点的半径。今天我们继续深入探究与圆的切线相关的重要结论———切线长定理。首先来看一个生活情境：如图，有一个圆形草坪，在草坪外有一点P，现在要从点P向草坪引两条切线，修建两条通往草坪边缘的小路。大家思考一下，这两条小路的长度有什么关系呢？带着这个问题，我们开启今天的探究之旅。通过今天的学习，我们不仅要解决这个问题，还要掌握切线长定理的内容、证明方法，并能运用它解决实际的几何问题。 第2页：探究新知———切线长的定义（约150字） 首先，我们明确一个新的概念———切线长。请大家结合屏幕上的图形（展示点P及从P引圆O的两条切线，切点分别为A、B）思考：什么是切线长？大家可以类比“线段的长度”来理解。其实，从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间线段的长度，就叫做这点到圆的切线长。比如图中，线段PA、PB的长度就是点P到圆O的两条切线长。注意区分“切线”和“切线长”：切线是直线，无法度量长度；切线长是线段的长度，可以度量。 第3页：探究新知———猜想切线长的关系（约200字） 了解了切线长的定义后，回到我们导入时的问题：从圆外同一点引圆的两条切线，这两条切线长有什么关系呢？请大家拿出草稿纸，画一个圆O，在圆外取一点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，然后用刻度尺测量PA和PB的长度，记录测量结果。大家分享一下自己的测量数据：有的同学测量得PA=2.5cm，PB=2.5cm；有的同学测量得PA=3.2cm，PB=3.2cm……通过测量，大家发现这两条切线长似乎相等。那这是不是一个普遍规律呢？接下来我们通过几何推理来验证这个猜想。 第4页：定理证明（约250字） 已知：如图，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。求证：PA=PB。请大家先独立思考证明思路，再小组交流。我们回忆一下切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以从这个性质出发，我们可以连接OA、OB。因为PA是圆O的切线，所以OA⊥PA；同理，OB⊥PB，因此∠OAP=∠OBP=90°。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA和OB都是圆O的半径，所以OA=OB；OP是两个直角三角形的公共斜边，即OP=OP。根据直角三角形全等的判定定理“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可以得出Rt△OAP≌Rt△OBP。根据全等三角形的对应边相等，所以PA=PB。这样我们就证明了刚才的猜想，这个结论就是我们今天要学习的切线长定理。 第5页：切线长定理及推论（约200字） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。我们再进一步观察刚才的全等三角形，除了PA=PB，还能得出什么结论呢？因为Rt△OAP≌Rt△OBP，所以对应角相等，即∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP。这就得到了切线长定理的推论：从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，同时也平分两条切线切点的连线所对的圆心角。简单来说，OP既是∠APB的角平分线，也是∠AOB的角平分线，而且OP垂直平分AB（大家可以课后自行证明这一结论）。请大家把定理和推论整理在笔记本上，注意定理的条件是“从圆外一点引圆的两条切线”，结论是“切线长相等”和“圆心与该点的连线平分夹角”。 第6页：例题应用（约250字） 接下来我们通过例题巩固切线长定理的应用。例1：如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，∠APB=60°，OP=10cm，求PA的长度和圆O的半径OA。大家先独立解题，再听讲解。解题思路：首先 ... ...
