专题强化练9　空间中的垂直关系--2026北师大版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 专题强化练9　空间中的垂直关系 1.(2025江西景德镇期末)空间中,设l,m,n为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列命题错误的是(　　) A.若α∩β=n,m∥n,m⊥γ,则α⊥γ B.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ C.若m,n在平面α内,且l⊥m,l⊥n,则l⊥α D.若α⊥β,α∩β=l,m∥α,m⊥l,则m⊥β 2.(多选题)(2024吉林长春吉大附中实验学校月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,P在底面上的射影E在线段BD上,则(　　) A.PA=PC　　B.PB=PD C.AC⊥平面PBD　　D.BD⊥平面PAC 3.(2024江西赣州期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,∠ACB=90°,AC=4,BC=,CC1=3,P为BC1上的动点,则CP+PA1的最小值为(　　) 　　B.　　 C.6　　D.7 4.(2025上海长宁段考)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,E是AC的中点,D是BC上一点(不与C重合),将三角形DCE沿DE逆时针翻折,使点C的对应点是点C1,连接CC1,设θ为二面角C1-DE-C的大小,θ∈(0,π).在翻折的过程中,下列说法不正确的是(　　) A.存在点D和θ,使得DC1⊥AC B.存在点D和θ,使得BC1⊥AC C.存在点D和θ,使得BC1⊥DE D.存在点D和θ,使得CC1⊥DE 5.(2024湖南岳阳模拟)如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,直角边AC在平面α内,直角边BC的长为,∠BAC=,若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,则线段CP长度的最小值为　　　　. 6.(2025山东滨州模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=2,D为△PAB内(包含边界)一点,且BD⊥CD,则点D的轨迹长度为　　　　. 7.(2023陕西西安月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 证明你的结论; (2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练9　空间中的垂直关系 1.C 2.AC 3.A 4.B 1.C　对于A,若α∩β=n,m∥n,m⊥γ,则n⊥γ,又n α,所以α⊥γ,A中命题正确; 对于B,令α∩γ=b,β∩γ=c,如图,在γ内取点M作MP⊥b,MQ⊥c,因为α⊥γ,β⊥γ,所以MP⊥α,MQ⊥β, 又α∩β=l,所以l⊥MP,l⊥MQ,因为MP∩MQ=M,MP,MQ γ,所以l⊥γ,B中命题正确; 对于C,当m∥n时,不能由已知条件推出l⊥α,C中命题错误; 对于D,由m∥α,得在平面α内存在直线d使得m∥d,因为m⊥l,所以d⊥l,又α⊥β,α∩β=l,所以d⊥β,所以m⊥β,D中命题正确. 2.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD, 连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC,当E与H重合时,显然AE=EC, 又PA=,PC=,所以PA=PC,A正确; 对于B,PD=,PB=,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误; 对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD 平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确; 对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC不垂直,D错误. 3.A　连接A1B,根据题意,得△CC1B为直角三角形, 因为∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1, 因为AA1⊥底面A1B1C1,CC1∥AA1, 所以CC1⊥底面A1B1C1,所以CC1⊥A1C1, 又B1C1∩CC1=C1,B1C1,CC1 平面BCC1B1, 所以A1C1⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1, 所以A1C1⊥BC1,即∠A1C1B=90°,即△A1BC1为直角三角形, 将二面角A1-BC1-C沿BC1展开成平面图形,得四边形A1BCC1,如图所示, 若要CP+PA1取得最小值,则当且仅当C,P,A1三点共线时成立. 因为BC=,CC1=3,所以∠CC1B=30°, 又∠A1C1B=90°,所以∠A1C1C=120°, 在△A1C1C中,由余弦定理得A1C2=A1+C-2A1C1·CC1·cos∠A1C1C=42+32-2×4×3cos 120°=37, 所以A1C=,即CP+PA1的最小值为. 4.B　对于A,设D为BC的中点,θ=,则DE∥AB, 又∠BAC=90°,所以AB⊥AC,所以DE⊥AC,故在几何体C1-ABDE中,DE⊥C1E, 又CE⊥DE,所以∠CEC1为 ... ...