第23-24章（旋转和圆） 解答题 专题练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习

中小学教育资源及组卷应用平台 第23-24章（旋转和圆） 解答题 专题练 2025-2026学年初中数学人教版九年级上册期末复习 1．平面直角坐标系第二象限内的点与另一点关于原点对称，试求的值． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 3．如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 5．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 6．在等边三角形的内部有一点D，连接，，以点B为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点C为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 7．如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 8．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值； (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为_____元．（结果用含a的式子表示） 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为． (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是_____，与的关系是_____． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 11．如图，，C、D是以O为圆心的的三等分点， ... ...