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课件网) 14.3.2 角的平分线的判定 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质： 不必再证全等 O D P A C B E 逆命题 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 猜想：到角的两边距离相等的点是在角的平分线上。 B A O D E 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边） PD= PE ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90° ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 P . 2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC， 求证：AD是∠BAC的平分线． 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的内角平分线 二 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证一证 D E F A B C P N M 问题1.若PD=4，则P到△ABC三边的距离和。 问题2.若△ABC的周长为32，求△ABC的面积。 问题3.△ABC的三条角平分线交于一点。 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 2.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上. G H M A B C F E D 3.如图， PA=PB ，∠PAC+∠PBD=180 ° 求证： OP平分∠AOB O A B P C D 典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置. P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在小区附近建造一个大型超市，使得它到三条路的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C A O B M N
