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课件网) 人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.1.2 二次根式的性质 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1. 理解二次根式的三个性质 (a≥0) ， (a≥0) 和 (a≥0) . 会运用二次根式的性质进行有关计算和化简. (重点) 2. 通过对 的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论 (a≥0)，感受数学知识的内在联系 . (难点) 3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐. ≥0 ＝ ＝ ＝ 数字猜猜猜 游戏规则：老师在心里想一个二次根式，比如 ，提示信息：这个二次根式的值是一个整数，大家来猜一猜 x 可能是哪些数。 如：这个二次根式的值是 2，同学们猜 x 是多少？ 如：这个二次根式的值是 4，同学们猜 x 是多少？ 追问：二次根式的值可以是 －3 吗？ 探究点1：≥0(a≥0) 问题1：当 a≥0 时， 表示什么含义？其数值有什么特点？ 当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此＞0； 当 a＝0 时， 表示 0 的算术平方根，因此＝0； 所以当 a≥0 时，≥0 ， 即当 a 是非负数时， 也是非负数. 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： (1) a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； (2) 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 【归纳小结】 二次根式 的双重非负性 例1 已知实数 m，n 满足｜m - 2｜+ = 0， 则 m = ，n = . 问题2：我们还学过哪些非负数？ 答：一个数的绝对值；一个数的偶次幂. ∴ m - 2＝0，n - 1＝0. 分析： ∴ m＝2，n＝1. 2 1 1. 已知 (x－2) ＋ ＝0，则 xy 的值为 . 【练一练】 2. 若 ＝ 3－x，则 x 的值为 . －2 3 问题3：根据算术平方根的意义填空： ; ＝ ; 因此，3. 分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 3 的非负数. 3 0.5 0 因此， 同理， 分别是 0.5， ，0，的算术平方根. 【知识要点】 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式. 一般地， ＝a (a≥0). 例2 计算： 解析： 积的乘方： (ab)2 = a2b2 3. 计算： 【练一练】 分数的乘方： 探究点3：(a≥0) 问题4：填空： ＝ ； 2 0.1 0 【拓展】当 a＞0 时， 当 a＝0 时， a 0 ＝a (a≥0). 即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身. 一般地，根据算术平方根的意义： 【知识要点】 【思考】当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 不成立. 问题5：填空： ＝ ； 2 0.1 猜想： 证明： 当 a＜0 时， = -a ∵ a＜0，∴ -a＞0，则 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0)， -a (a＜0). 【知识要点】 ＝|a|＝ 问题6：如果 a 是任意实数，那么如何化简 ？ 0 (a＝0)， 探究点3：(a≥0) 例3 化简： 4. 计算： 【练一练】 例4 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a -b＜0， ∴ 原式 = | a | - | b | + | a - b | = - a - b - (a - b) = -2a. a b 例5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简： 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数， a + b + c＞0 两边之和大于第三边， b + c - a＞0，c - b - a＜0 解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长， ∴ a + b + c＞0，b + c＞a，b + a＞c， ∴ 原式 = | a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a | = a + b + c - ( b + c - a ) + ( b + a - c) = a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c． 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果 ... ...
