15.3　角的平分线第2课时教学课件--沪科版（2024）数学八年级上册

(课件网) 沪科版（2024）数学八年级上册 第2课时　角平分线的性质及判定 第15章　15.3　角的平分线 1.理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能利用它们进行推理或证明.(重点) 2.能应用角平分线的性质定理和它的逆定理解决一些简单的实际问题.(难点) 学习目标 如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由. 情境引入 一、角平分线的性质定理及应用 问题1　已知OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. (1)操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长，汇集三次测量的数据可以得到二者的大小关系是　　　　　； PD=PE (2)验证猜想： 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 提示　证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°， 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO≌△PEO(AAS)， 所以PD=PE. 知识梳理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离 . 角两边 相等 例1 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)； 解　∠ABC的平分线如图所示. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (2)若CD=3，AB+BC=16，求△ABC的面积. 解　作DH⊥AB于H. 因为BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， 所以DH=CD=3， 所以△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC·CD+AB·DH=×3BC+×3AB=×3(BC+AB)=×3× 16=24. 例1 反思感悟 (1)利用角的平分线的性质得到线段相等时，注意不要漏掉垂直关系的书写. (2)遇到一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，进而得到垂线段相等. (1)(2025·广西河池天峨县期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=30，BD∶CD=3∶2，则点D到AB的距离为 A.18 B.12 C.15 D.16 跟踪训练1 √ 解析　如图，作DE⊥AB于E， 因为BD∶CD=3∶2，BC=30，所以CD=12， 因为AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB， 所以DE=CD=12. 即点D到AB的距离为12. (2)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC. 证明　因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， 所以DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， 所以Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， 所以EB=FC. 二、角平分线的判定定理及应用 问题2　交换角平分线的性质定理中的已知和结论，你能得到什么结论？并验证你的结论. 提示　能得到的结论是角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 验证：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：作射线OP，因为PD⊥OA，PE⊥OB. 所以∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL). 所以∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等). 所以点P在∠AOB的平分线上. 知识梳理 角平分线的判定定理：角的 到角两边距离 的点在角的平分线上. 内部 相等 如图，已知△ABC的∠B，∠C的外角平分线交于点D，AD是∠BAC的平分线吗？说明理由. 例2 解　如图，分别过D作DE，DF，DG垂直于AB，BC，AC，垂足分别为E，F，G， 因为BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC， 所以DE=DF， 同理DG=DF， 所以DE=DG， 所以点D在∠EAG平分线上， 所以AD是∠BAC的平分线. 反思感悟 要证角平分线，先向两边作垂线段，证垂线段相等，进而推得角平分线. (2025·广西贵港平南县期末)如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC. 跟踪训练2 证明　因为BE⊥AC，CF⊥AB， 所以∠BFD=∠CED=90°. 在△BDF与△CDE中， 所以△ ... ...