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课件网) 14.3 角的平分线（1） 一、知识回顾 1、角平分线的定义 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O A B C 如图，∵OC是∠AOB的平分线. ∴ 在纸上画一个角，怎么找到这个角的平分线？ 思考 可以用量角器、对折等方法. 问题 1 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系． 研究几何图形的位置关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．下图中，当 OM 与 ON 满 足什么关系时，PM＝PN？ A M P C B N O 探究新知 追问 反过来，如果M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM＝ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM＝PN，那么点 P 在∠AOB 的平分线上吗？ 问题 2 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ A M P C B N O 探究新知 A B O 追问 请任意作一个角∠AOB，用直尺和圆规作出∠AOB 的平分线 OC． 探究新知 性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 问题 3 如图，OC 是∠AOB 的平分线．点 P1，P2，P3，… 在 OC 上，过点 P1，P2，P3，… 分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2与 E2、D3 与 E3……．分别比较 P1D1 与P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与P3E3……，你有什么发现？ 探究新知 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：OC 是∠AOB的平分线，点 P 在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E． 求证：PD=PE． A 探究新知 证明：∵ OC 是∠AOB的平分线， ∴ ∠AOC＝∠BOC． ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°． 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC＝∠BOC， ∠PDO＝∠PEO， OP＝OP， ∴ △OPD≌△OPE（AAS）． ∴ PD＝PE． A 探究新知 1、证明几何命题的一般步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 归纳 A 2、角平分线的性质： 角的平分线上的点到角两边的距离相等． 符号语言： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE． 追问 3 角的平分线的性质的作用是什么？ 归纳 证明线段相等 例 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F． 求证：EB＝FC． 典例精析 证明：∵ AD 平分∠BAC， 且 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE＝DF． 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中， BD＝CD， DE＝DF， ∴ Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴ EB＝FC ． 1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等． 点 P 在∠AOB 的平分线上 点 P 在直线 MN 上 解：如图所示，点 P 即为所求． O M A B N Ｐ 课堂练习 2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E．点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF＝EG，连接 PF，PG． 求证：PF＝PG． 课堂练习 证明：∵ OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE． ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF＝∠PEG＝90°． 在△PDF 和△PEG 中， DF＝EG， ∠PDF＝∠PEG， PD＝PE， ∴ △PDF≌△PEG（SAS）． ∴ PF＝PG． 回顾本节课的内容，请思考以下问题： （1）如何作一个角的平分线？ （2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？角的平分线 的性质具有什么作用？ （3）你能举例说明证明一个几何命 ... ...
