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课件网) 14.3.1 角的平分线的性质 学习目标 1．学会用尺规作一个已知角的平分线． 2．探索并证明角平分线的性质． 3．会用角平分线的性质解决有关问题． 回顾导入 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： ∴ OB 平分∠AOC. ∵∠1=∠2 回顾导入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 探究新知 知识点1 角的平分线的作法 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P PM＜PN B C A O M N P PM＞PN C A B O M N P PM=PN 知识点1 角的平分线的作法 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 就有 PM = PN. 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. 知识点1 角的平分线的作法 A B O M N 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识点1 角的平分线的作法 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. 知识点1 角的平分线的作法 A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 知识点1 角的平分线的作法 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 知识点2 角的平分线的性质 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 题设： 一个点在一个角的平分线上. 结论： 这个点到这个角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∠AOC = ∠BOC ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∴PD = PE ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， 提炼归纳：证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 必要时先将命题改写成 “如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 ... ...
