5.4 用一次函数解决问题（3个知识点 5种题型） 讲义(原卷版+答案版)2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.4 用一次函数解决问题（3个知识点+5种题型） 一、要点梳理 要点一、数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 要点二、正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 要点三、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 二、典型例题 【题型1 行程问题】 例1.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数解析式． (3)求货车从甲地出发后多长时间与轿车相遇． 【变式1】一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地．同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的有（　 　） ①A、B两地相距120千米； ②出发1小时，货车与小汽车相遇③出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了60千米；④小汽车的速度是货车速度的2倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 最大利润问题】 例2.随着信息化技术水平的进步，为进一步促进教育现代化与教育强国．《中国教育现代化2035》进一步明确加快信息化时代教育变革，“着力构建基于信息技术的新型教育教学模式、教育服务供给方式以及教育治理新模式．”为积极推广混合式教学、翻转课堂，大力推进智慧教室建设，构建线上线下相结合的教学模式．某教育科技公司销售，两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： 进价(万元/套) 售价(万元/套) 该教育科技公司计划购进，两种多媒体设备共套，设购进种多媒体设备套，销售，两种多媒体教学设备利润共万元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若公司要求购进种多媒体设备的数量不超过种多媒体设备的倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【变式2】某商店购进了A，B两种家用电器，相关信息如下表： 家用电器 进价（元/件） 售价（元/件） A m+200 1800 B m 1700 已知用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同． （1）求表中m的值． （2）由于A，B两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进A，B两种电器总件数共20件，且获利不少于13300元．请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型3 调运问题】 例3.A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和250元． (1)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【变式3】【变式3 ... ...