21.4二次函数的应用 （30分提至70分使用） 一、二次函数的实际应用模型建立 问题分析：明确实际问题中的变量关系，确定自变量 ( x ) 和因变量 ( y )。 模型假设：根据问题背景，对复杂实际情况进行简化，假设变量间关系符合二次函数形式（）。 数据获取与代入：通过题目所给条件（如具体数据点、几何关系等），代入二次函数表达式，建立关于 ( a )、( b )、( c ) 的方程组。 求解函数解析式：解方程组求出 ( a )、( b )、( c ) 的值，确定二次函数的具体表达式。 二、二次函数在几何图形中的应用 面积问题： 已知图形边长关系，用二次函数表示面积。例如：矩形周长一定时，设一边长为 ( x )，面积（( C ) 为周长）。 利用二次函数顶点坐标求面积的最大值或最小值。 体积问题： 如长方体、圆柱等几何体，在特定条件下（如表面积一定），用二次函数表示体积，进而求最值。 动态几何问题： 点、线、图形在运动过程中，某些量（如距离、面积）随时间或位置变化，建立二次函数关系解决相关问题。 三、二次函数在最值问题中的应用 利润最大化问题： 设销量为 ( x )，单价为 ( p )，成本为 ( C )，则利润 ( L = x(p - C) )，若 ( p ) 与 ( x ) 成一次函数关系，可转化为二次函数，通过顶点坐标求最大利润。 费用最省问题： 如运输成本、用料成本等，根据条件建立成本与自变量的二次函数关系，利用二次函数的最值性质求出最低成本。 距离最短/最长问题： 在平面直角坐标系中，点到直线的距离、两点间距离等，若距离表达式为二次函数形式，可通过求最值解决。 四、二次函数在运动轨迹中的应用 抛物运动模型： 忽略空气阻力时，物体抛出后的运动轨迹是抛物线，其高度 ( h ) 与时间 ( t ) 的关系可表示为（( g ) 为重力加速度， 为初速度， 为初始高度）。 可求解物体达到的最大高度、运动时间、落地点距离等问题。 五、二次函数应用的一般步骤 审题：理解题意，找出已知条件和所求问题。 设元：设适当的自变量 ( x )，并用含 ( x ) 的代数式表示相关的量。 列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出二次函数表达式。 确定自变量取值范围：结合实际问题，确定 ( x ) 的取值范围（如非负整数、实际长度限制等）。 求解与检验：利用二次函数的性质（开口方向、顶点坐标）求出结果，并检验结果是否符合实际意义。 图形问题 1．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 2．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为_____． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1 ... ...
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