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课件网) 2026年中考数学一轮复习专题★★ 一线三等角模型 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE. 证明：∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE，∴△BDA≌△AEC(AAS)， ∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE. 【拓展设问】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意角，试判定BD＋CE与DE的关系，并说明理由． 解：BD＋CE＝DE.理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α， ∴∠CAE＝∠ABD，∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE. 如图，在正方形FDEC中，点B，A分别在边DF，ED上，且BA⊥AC，求证：△BDA∽△AEC. 证明：∵四边形FDEC为正方形， ∴∠BDA＝90°，∴∠DBA＋∠BAD＝90°.∵BA⊥AC， ∴∠CAE＋∠BAD＝90°，∴∠DBA＝∠EAC， 又∵∠BDA＝∠AEC，∴△BDA∽△AEC. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，DE＝4，AD＝6，求BE的长． 解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°， ∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE， ∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBE(AAS)， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵DE＝4，AD＝6，∴BE＝CD＝CE－DE＝2. 【模型分析】 1．模型特点： (1)∠1，∠2，∠3的顶点在一条直线上； (2)∠1，∠2，∠3之间的关系是 . ∠1＝∠2＝∠3 2．模型结论： (1)△APC∽△BDP； (2)若在(1)的条件下，增加条件： ，可以得到△APC≌△BDP. AP＝BD(答案不唯一) 【拓展模型】 1．一线三等角 “中点型一线三等角”：当∠1＝∠2＝∠3且D是BC的中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 2．一线三垂直 “中点型一线三垂直”：当E是BC的中点时，△ABE∽△ECF∽△AEF. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，E为BC上一点，过点E作DE⊥EF，分别交AB，AC于点D，F，且DE＝EF，试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明． 解：CF＝BE. 证明：过点F作FG⊥BC于点G. ∵∠B＝90°，AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝45°，∠BDE＋∠DEB＝90°. ∵DE⊥EF，∴∠GEF＋∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠GEF， 在△BDE和△GEF中， ∴△BDE≌△GEF(AAS)，∴BE＝GF. ∵∠C＝45°，∠FGC＝90°，∴CF＝GF，∴CF＝BE. 【构造方法】 第一步：找等角，∠DEF＝∠DBE＝90°； 第二步：找过等角顶点的直线BC； 第三步：作第三个等角，过点F作BC的垂线； 第四步：有等边证全等，无等边证相似． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(1，6)，求点A的坐标． 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作 BE⊥x轴于点E，∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC＝BE，AD＝CE. ∵C(－2，0)，B(1，6)．∴OC＝2，OE＝1，CD＝BE＝6， ∴OD＝CD＋OC＝8，AD＝CE＝OE＋OC＝3. ∵点A在第二象限，∴点A的坐标为(－8，3)． 【构造方法】 第一步：找直角，∠BAD＝90°； 第二步：找过直角顶点的直线AC； 第三步：作剩余两个等角，过点B作AC的垂线，过点D作AC的垂线； 第四步：有等边证全等，无等边证相似． 如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是AB边上一点，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，且∠EFD＝60°，求AE的长． 方法一：构造一线三等角 解：如答图①，延长BC至点G，连接DG，使∠G＝60°， ∵∠B＝∠EFD＝60°， ∴∠BFE＋∠BEF＝∠BFE＋∠DFC＝120°， ∴∠BEF＝∠DFC， ∵∠B＝∠G＝60° ... ...
