(
课件网) 完全平方公式分解因式 学习目标 1. 理解完全平方公式的特点． 2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式． 3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明． 感悟新知 我们把a +2ab+b 和a –2ab+b 这样的式子叫作完全平方式. (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ a2+2ab+b2 a2–2ab+b2 观察这两个多项式： (1)每个多项式有几项？ (3)中间项和第一项，第三项有什么关系？ 三项. 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 是第一项和第三项底数的积的±2倍. 感悟新知 把整式乘法的完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2， （a-b）2=a2－2ab＋b2的等号两边互换，我们能得到什么呢？ a2＋2ab＋b2=（a+b）2 a2－2ab＋b2=（a-b）2. 两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方 针对训练 1.下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式. (1)a2–4a+4; (2)1+4a ; (3)4b2+4b–1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25. 是，(a-2)2 只有两项； 不是 4b 与–1的符号不统一； 不是 不是 是，(x+0.5)2 ab不是a与b的积的2倍. 典例解析 例1 分解因式： (1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2 (3)(a+b)2-12(a+b)+36. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2； = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 (2)–x2+ 4xy–4y2 =–(x2–4xy+4y2) =–(x–2y)2. (3)(a+b)2-12(a+b)+36. =(a+b)2+2 (a+b) (-6)+(-6)2 =[(a+b)–6]2=(a+b-6)2 针对训练 2.把下列各式分解因式. (1)-m2-4+4m; (2)4x2-20x+25; (3)4a2+4ab+b2; (4)(x-1)2+6(1-x)+9; (5)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2. 解:原式=-(m-2)2. 解:原式=(2x-5)2. 解:原式=(2a+b)2. 解:原式=(x-4)2. 解:原式=4y2. 典例解析 例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9 B 3.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为___. 针对训练 ±8 针对训练 4.已知x,y为实数,求下列式子的最小值: 2x2+4xy+5y2-4x+2y+13. 解:原式=(x2+4xy+4y2)+(x2-4x+4)+(y2+2y+1)+8 =(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2+8. ∵(x+2y)2≥0,(x-2)2≥0,(y+1)2≥0, ∴当x=2,y=-1时,原式有最小值,且最小值为8. 针对训练 5.利用因式分解简便运算: (1)1 0012-202 202+1012= ; (2)992+198+1= ; (3)662+652-130×66= . 810 000 10 000 1 针对训练 6.已知△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=0, 试判断△ABC的形状. 解:∵a2+b2+c2-6a-6b-10c+43 =a2-6a+9+b2-6b+9+c2-10c+25 =(a-3)2+(b-3)2+(c-5)2=0, ∴a-3=0,b-3=0,c-5=0, ∴a=3,b=3,c=5, ∴△ABC为等腰三角形. 典例解析 例3因式分解： (1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2. 解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16) ＝–3a2(x–4)2； ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a) (2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2 ＝(a＋2)2(a–2)2. 有公因式要先提公因式. 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 针对训练 小聪: 小明: 7. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x2–2x＋3. (2)原式＝ (x2–6x＋9)＝ (x–3)2. 解: (1)原式＝(2x)2＋2×2x·1＋1＝(2x+1)2. × × 针对训练 8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2. 当a–b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 原式＝2×52＝50. 当ab＝2，a＋b＝5时， =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b); =x2+2xy+y2-1 =(x+y)2-1 =(x+y+1)(x+y-1). 针对训练 9.理解分组分解法: ①am+an+bm+bn ③2xy+y2-1+x2 ②a2-2ab+b2+a-b =(a2-2ab+b2)+(a-b) =(a-b)2+(a-b) =(a-b)(a-b+1); 归纳总结 完 ... ...
