“瓜豆原理”及应用 “瓜豆原理”是一种主从联动现象．在这样的现象中，常会有一个定点、两个动点．解答 时，要有轨迹思想，首先弄清楚主动点的轨迹，再弄清楚主动点与从动点之间的关系，最后， 弄清楚从动点的轨迹．用到的数学知识包括平移、旋转、位似这些变换．“瓜豆原理”经常出 现在压轴题中，下面分类说明这种原理在解题中的应用． 一、“瓜豆原理”之平移 瓜豆原理之平移，不仅要求学生找出瓜豆原理中的定点、主动点与从动点，且要求学生充 分利用平移变换的性质，即平移前后的两个图形对应线段平行、对应角相等，再利用平行线的 性质，得到同位角相等或内错角相等，然后，利用等角的同名三角函数值相等，将等角的三角 函数值进行转移，从而解决问题． 4 问题 1 如图 1，直线 y x 4与两坐标轴分别交于点 A，B两点，且C 1,0 ，点 P是该直线 3 上一动点，点 Q是点 P向右平移一个单位长度得到的，求 CQ的最小值． 4 分析：因为点 P向右平移 1个单位长度后得到点 Q，而点 P的运动轨迹是直线 y x 4， 3 4 根据平移前后图形的形状与大小不变，得点 Q的运动轨迹就是将直线 y x 4右平移 1个 3 单位长度得到的直线 QE y 4，即直线 x 1 4 4 16 ，即直线 y x ． 3 3 3 如图 2，作OG QE于点 G，根据垂线段最短原理，CQ的最小值是就垂线段 OG的长， 在 Rt AOB中，OA 3，OB 4， AB 4 5，于是可得 sin OAB ，所以 sin GEC 4 ．又 5 5 CE 3 CG 3 4 12 12因为 ，所以 ．故 CQ的最小值是 ． 5 5 5 二、“瓜豆原理”之旋转 瓜豆原理之旋转，不仅要求学生找出瓜豆原理中定点、主动点与从动点，且还要求学生充 第 1 页 共 12 页 分利用旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转 角．当旋转角是直角时，得到等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质，可以构造“一线三直 角”的全等模型；当旋转角是60 时，得到等边三角形，利用等边三角形的性质可以构造“一 线三锐角”的全等模型，从而解决问题． 4 问题 2 如图 3，点 A是双曲线 y 在第一象限上的一动点，连接 AO并延长交另一分支于点 x B，以 AB为斜边作等腰直角三角形 ABC，点 C在第二象限，当点 A运动时，点 C也随之运动， 但始终在一函数图象上运动，求这个函数的表达式． 分析：由题意，知图 3中的点 A是主动点，点 B，C是从动点，其中点 C是目标点；图中似乎 没有定点，但仔细观察可以发现线段 AB经过的点 O始终没变， 所以原点 O是一个固定点．如图 4，连接 OC，由于 ABC是等腰直角三角形，且OA OB， 根据等腰直角三角形的性质，得OC OA，且 AOC 90 ． 这样一来，点 C可以看作是由点 A绕点 O逆时针旋转90 得到的，根据旋转不改变图形 的形状与大小，因为点 A在双曲线的一个分支上运动，所以点 C的运动轨迹也一定是双曲线 的一支． 如何求点 C所在双曲线的解析式呢 也就是要建立点 C横坐标与纵坐标之间的方程，此时 可以设点 C的坐标为 x, y ，因为 ABC是等腰直角三角形，所以此时应构造“K字型全等”． 如图 4所示，分别过点 A，C作 x轴的垂线，垂足分别为 E，D，易证 COD OAE AAS ， 所以CD OE y，OD AE x， 4 4 所以点 A的坐标为 y， x ，又因为点 A在双曲线 y 上，所以把点 A y， x 代入 y ， x x 4 4 得 x ，即 y ． y x 第 2 页 共 12 页 4 所以点 C的运动轨迹对应的函数解析式为 y x 0 ． x 三、“瓜豆原理”之旋转位似 瓜豆原理之旋转位似，不仅要求学生找出瓜豆原理中的定点、主动点与从动点，还要求学 生充分利用旋转位似的性质，即主动点、从动点分别与定点连线的夹角不变，主动点、从动点 分别与定点连线的比值不变．将主动点的运动轨迹作相同的旋转位似变换，即将动点转化为图 形，将动态转化为静态，从而找到线段的最大值或最小 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
