(课件网) 菱形的判定 R·八年级数学下册 四边形 21 学习目标 1. 理解并掌握菱形的判定方法，体会类比数学思想方法 的作用． 2. 引导学生从边和对角线探究菱形的判定定理，养成 主动探索的学习习惯． 3. 运用菱形的判定方法进行证明或计算，发展学生的 推理能力． 知识回顾 问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？ 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 性质：1.具有平行四边形的一切性质. 2.菱形本身具有的特殊性质： ①四条边都相等； ②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ③菱形是轴对称图形.. 3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半. 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. A B D C 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， 且AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 思考：你还有其他的判定方法吗？ 探索新知 前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想. 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OA = OC . ∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC， ∴AB = CB， ∴□ABCD 是菱形. O A B C D 尝试证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的判定定理1： 归纳总结 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， 且BD⊥AC， ∴□ABCD是菱形． O A B C D 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 例 4 A B C D F E O 1 2 分析：已知 AC ⊥ EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明 四边形 AFCE 是平行四边形. 由题意可 知 AO = CO，还需证明 EO = FO . 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 例 4 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥CF . ∴∠1 = ∠2 . 又∠AOE = ∠COF，AO = CO， ∴△AOE≌△COF . ∴EO = FO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又 AC ⊥ EF， ∴四边形 AFCE 是菱形. A B C D F E O 1 2 练 习 1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ） A. AB=AC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB⊥AC C 2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且 互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分， ∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO . ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又AC ⊥ BD，∴□ABCD是菱形. O D A B C 【选自教材第75页 练习 第1题】 用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由. 动手操作 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA . 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵AB = CD，DA = BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又 AB = BC， ∴ □ ABCD 是菱形. A B C D 尝试证明 菱形的判定定理2： 归纳总结 四条边相等的四边形是菱形. 几何语言： ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. A B C D A B C D F E O 1 2 3 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 例 4 尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明. 证明：∵EF 垂直平分 AC， ∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥BC， ∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3. 又OC = OC，∠E ... ...
