高三年级 12 月检测训练 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ,则 A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知 ,则 的最小值为 A. 3 B. 2 C. D. 1 4. 已知点 为 的重心,若 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 3 5. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,若对任意 . 恒成立,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 距水面的高度为 . 设筒车上的某个盛水桶 (看作点)到水面的距离为 (单位: ) (若在水面下则 为负数),若以盛水桶 刚浮出水面时开始计时, 与时间 (单位:s) 之间的关系为 ,则 图 1 图 2 A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 作圆 的切线. 交双曲线 的右支于点 ,若 ,则实数 A. B. C. 2 D. 8. 已知函数 ,若 恰有 4 个零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知一组数据 的平均数为 ,将这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 ,则新数据与原数据相比 A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同 10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. B. 不等式 的解集为 C. D. 1 为函数 的极大值点 11. 已知正四棱锥 的底面边长为 1,高为 ,该正四棱锥的顶点 在正方体 的内部(包括表面),则下列结论正确的是 A. 的取值范围是 B. 若正四棱锥 的侧棱长为 ，则 C. 当点 为正方体 的上底面 的中心时,正四棱锥 外接球的表面积为 D. 当点 为正方体 的内切球球心时,正方体 的内切球与正四棱锥 的公共部分的体积为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 的展开式中,第 6 项系数与第 7 项系数之比为 3:1,则 的值为_____. 13. 已知抛物线 的焦点为 . 斜率为 1 的直线 与抛物线 交于 两点. 则 的值为_____. 14. 已知 ,则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 中,角 所对边分别为 ,且满足 . (1)求角 的大小； (2)若点 在边 上，且满足 ，求 的值. 16. (本小题满分 15 分) (1)1 个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动 1 个单位长度(相对于原点 ，质点向右移动了 个单位长度后位置记为 ,向左移动了 个单位长度后位置记为一 ). 已知质点每次向右移动的概率为 . 记 为质点从原点 出发，移动 2 次后的位置，求满足随机变量 的期望大于 0 的 的取值范围； (2)1 个质点从平面直角坐标系中某点 出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动 1 个单位长度,求该质点经过 4 次移动后回到点 的概率. 17. (本小题满分 15 分) 如图，在斜三棱柱 中， ， 是 的中点. (1)求证:平面 上平面 ； (2)若 底面 ，且直线 与底面 所成角为 ， 是棱 的中点,求平面 与平面 夹角的余弦值. 18. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 . . 且椭圆 过点 ,椭圆的下顶点为 . (1)求椭圆 的方程: (2)过右焦点 。的直线 与椭圆 交于 ， 两点(点 在点 的上方)，与 轴交于点 (点 在点 的下方). 为点 关于原点的对称点， 交 轴于点 ，设 的面积分别为 . ① 若直线 的斜率为 2，求 的值； ②是否存在直线 ，使 ， ， ， 四点共圆？若存在，试判断直线 的条数；若不存在. 请说明理由. 19. (本小题满分 17 分) 约翰 卡尔 弗里德里希·高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有 ... ...
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