第17章 一元二次方程 小结·评价 课件（22张PPT）2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学下册

(课件网) 第17章 一元二次方程 小结 · 评价 沪科版·八年级下册 知识体系 一元二次方程 解法 根的判别式 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根与系数的关系 应用 回顾与思考 考点1 一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程. ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0） 一般形式： 举一反三训练 1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_____，二次项系数、一次项系数和常数项分别是_____. x2 – 5x – 4 = 0 1，– 5，– 4 举一反三训练 2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____. – 3 考点2 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 把方程化为 (x + n)2 = p 的形式 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0) 适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 提公因式法 公式法 十字相乘法 思 考 解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？ “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法. 配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程. 因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程. 举一反三训练 1. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ） A. x2 – 2x = 5 B. 2x2 – 4x = 5 C. x2 + 4x = 5 D. x2 + 2x = 5 C 举一反三训练 2. 用适当的方法解下列方程： （1）x2 + 6x + 7 = 0；（2）2x2 – 3x – 5 = 0； （3）x2 + 4x = 5(x + 4). 解：（1）移项，得 x2 + 6x = –7 配方，得 x2 + 2×3x + 9 = –7 + 9 则 (x + 3)2 = 2 开平方，得 所以原方程的根是 （2）2x2 – 3x – 5 = 0； （3）x2 + 4x = 5(x + 4). （2）∵ a = 2，b = – 3，c = – 5， ∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×2×(– 5) = 49 > 0. 代入求根公式，得 所以原方程的根是 （3）移项，得 因此，有 x – 5 = 0 或 x + 4 = 0. 所以原方程的根是 x2 + 4x – 5(x + 4) = 0. 提取公因式，得 (x – 5)(x + 4) = 0. 3. 对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2} = 1，min{– 2，– 3} = – 3. 若 min{(x – 1)2，x2} = 1，则 x 的值为_____. 2 或 – 1 ① (x – 1)2 = 1，且 (x – 1)2 < x2 ② x2 = 1，且 x2 < (x – 1)2 举一反三训练 考点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1. 根的判别式 2. 根与系数的关系 Δ = b2 – 4ac 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 举一反三训练 1. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + 2x – 1 = 0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A. a ≠ 0 B. a > – 1 且 a ≠ 0 C. a ≥ – 1 且 a ≠ 0 D. a > – 1 B Δ = 22 + 4a > 0 a ≠ 0 举一反三训练 2. 关于 x 的一元二次方程 3x2 – 2x + m = 0 有两根 x1，x2，其中一根 x1 = 1，则这两根之积为（ ） D 举一反三训练 3. 已知关于 x 的方程 x2 – 2x + 2k – 1 = 0 有实数根. （1）求 k 的取值范围； （2）设方程的两根分别是 x1，x2，且 试求 k 的值. 解：（1）根据题意，得 Δ = (–2)2 – 4×1×(2k – 1) = 8 – 8k. 因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0，即 8 – 8k ≥ 0. 解得 k ≤ 1. 所以当 k ≤ 1 时，方程有实数根. （2）因为 x1，x2 是方程的两根， 所以 x1 + x2 = 2，x1x2 = 2k – 1 . 解得 经检验， 都是原方程的根， 由（1），k ≤ 1，所以 考点4 一元二次方程的应用 步 ... ...