17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共37张PPT) 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学下册

(课件网) 沪科版·八年级下册 第17章 一元二次方程 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1 2 了解一元二次方程根与系数的关系. 通过由特殊到一般，培养学生观察、分析，猜测规律的能力. 新课导入 探 索 从因式分解法可知，方程 (x – x1)(x – x2) = 0 (x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2. 将方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ ①式可化为 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ③ 由②③式可对应得到 p = – (x1 + x2)，q = x1x2. 则上述方程两个根的和、积与系数的关系为： x1 + x2 = – p，x1x2 = q. (x – x1)(x – x2) = 0 ① → x2 + px + q = 0 ② 推进新课 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？ 思 考 观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？ 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 韦达定理 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q. 练一练 【教材P38练习 T1】 下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？ （1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0； （3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1. 解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得 （1） （2） （3） （4）3x2 = 1. （4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0. 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 还有其他解法吗？ 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值. 方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解. 2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0 28 – 4k = 0 k = 7 2x2 + 7x – 4 = 0 练一练 【教材P38练习 T2】 已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为 ，m 的值为 16. 例 2 方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值. 解：由韦达定理，得 (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？ 由韦达定理，得 (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？ 由求根公式，得 拓展 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 练一练 【教材P38练习 T3】 设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值. （1）(x1 + 1)(x2 + 1)； （2） （3）|x1 – x2|. 解：由韦达定理，得 （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 （2） （3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 引申：对于 ax2 bx c 0（a 0， 0） （1）若两根互为相反数，则 b 0； （2）若两根互为倒数，则 a c； （3）若一根为 0，则 c 0； （4）若一根为 1，则 a b c 0； （5）若一根为 1，则 a b c 0； （6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根. 你能自己推导出这些结果吗？ 随堂练习 1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1 + ，x2 = 1 – ，则 p = ，q = . –2 –1 2. 方程 5x2 + kx – 6 = 0 有 ... ...