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课件网) 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点) 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点) 1. 一元二次方程的求根公式是什么 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根。 一元二次方程的根与系数的关系 思考 我们知道，一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为： 观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现 x1 = , x2 = 1 证一证： 当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和： 方程两根之和： 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么 这个关系通常称为韦达定理. 知识要点 思考与提升 (1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式 因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得 这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式. 归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 有关韦达定理的常见的求值式子如下： 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. (2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1. 典例精析 想一想：本题还有别的解法吗？ 解 设方程的另一个根是 x2，则 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. -4 + x2 = -4x2 = 解方程组，得 x2 = ， k = 7. 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 解 将 x = –4 代入方程，得 2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7 代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. 解得 x1 = ， x2 = –4. 例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 例4 方程 2x - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2， 求 x1 - x2 的值. ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4x1x2 解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = . ∴ x1 - x2 = = ( ) + 4× = . 1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ; (2) x1 · x2 = ; (3) ; (4) (x1 - x2)2 = . 4 1 14 12 练一练 数学拓展 二次三项式 ax + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根来进行 . 若 ax + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知 二次三项式的因式分解 因此 例如，一元二次方程 3x2 -5x -12 = 0 的两个根 x1 = 3 ，x2 = ... ...
