【精品解析】《截长补短与倍长中线证全等》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

《截长补短与倍长中线证全等》精选压轴题———人教版八年级上学期数学期末复习 一、解答题 1．（2024八上·武昌期中）学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为_____； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则_____． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质；角平分线的概念；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 【分析】（1）延长至点E，使，连接，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形三边关系即可求出答案. （2）延长至点G，使，连接，根据角之间的关系可得，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. （3）根据角平分线定义可得，，根据角之间的关系可得，在上截取，，连接，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，过点N作于点P，过点E作于点Q，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形面积即可求出答案. 2．（2024八上·广州期中）（1）温故知新：在小学数学我们认识了等腰三角形，知道了底角、顶角等概念，请用全等的知识证明“等腰三角形的两个底角相等”．已知：如图1，中，若，求证：． （2）运用“等腰三角形的两个底角相等”和全等的知识来解决以下问题：如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于F．若，求证：． 【答案】证明：（1）如图，取中点，则，连接， 在和中， ， ， ； （2）延长到点，使得，连接，如图所示： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ，即． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；倍长中线构造全等模型 【解析】【分析】 （1）取中点，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论，解答即可； （2）延长到点，使得，连接，由“”可证，可得，，进而可得，再由对顶角相等即可解答． 3．（2024八上·衡阳月考）在数学活动课上，王老师提出这样一个问题： 在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？ 如图①，小明同学考虑到，利用线段相等，可以构造全等把一些分散的已知条件整合在一个三角形里，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）按照上述思路，请完成小明的证明过程； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，若，，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与中线的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明： 是边上的中线， ． 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解： ， ，， 是边上的中线， ， ， ， ， ，， ． （3）解： ． 理由：延长至，使，连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【知识点】三角形全等及 ... ...