(
课件网) 第五单元 四边形 微专题 十字模型 一阶 认识模型 模型 正方形中的十字模型 矩形中的十字模型 图示 模型特点 AE⊥BF且AE=BF AE⊥BD 结论 △ABE≌△BCF △ABE∽△BCD 迁移图形作 辅助线思路 分别过点E，G作AD，CD的 垂线EM，GN，得 △AME≌△FNG 分别过点F，G作AB，BC的 垂线FM，GN，得 △EFM∽△HGN 几何画板动态演示 温馨提示：点击查看原文件 例1 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF交 于点G，且AE⊥BF. 求证：AE=BF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°， ∴∠ABG＋∠CBF=90°. ∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°， ∴∠BAE＋∠ABG=90°， ∴∠BAE=∠CBF. 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴AE=BF. 题后反思 1. 你还能得到其他结论吗？ 解：1.BE=CF，∠AEB=∠BFC等，答案不唯一； 2. 按照“AE不动，BF向上平移至MN的位置，如图①；AE向右平移至GE，BF向上平移至HF，如图②”继续探究，两条线段垂直关系不变，例1中的结论还成立吗？ 2. 成立. AE不动，BF向上平移至MN的位置： 如图①，过点M作MF⊥CD于点F， 则∠MFN=∠MFC=90°， ∟ F 一题多解法 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=∠CFM=90°， ∴四边形BCFM是矩形， ∴MF=BC，∠AMF=∠MFN=90°， ∴∠AMG＋∠FMN=90°，AB=MF， ∵AE⊥MN， ∴∠AGM=90°， ∴∠AMG＋∠GAM=90°， ∴∠GAM=∠FMN， ∟ F 在△ABE和△MFN中， ， ∴△ABE≌△MFN(ASA)， ∴AE=MN； ∟ F 解法二：如解图②，过点B作BF∥MN交CD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，AB=BC， ∠ABE=∠BCF=90°， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴MN=BF， F ∵AE⊥MN， ∴AE⊥BF， ∴∠FBC＋∠AEB=90°， ∵∠FBC＋∠BFC=90°， ∴∠AEB=∠BFC， F 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴AE=BF， ∴AE=MN； 解法三：AE向右平移至GE，BF向上平移至HF： 如解图③，过点G作GM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，FN分别交 GE，GM于点P，Q，GE交FH于点O， 解图③ 则∠GME=∠FNH=90°，四边形BCFN，四边形CDGM都是矩形， ∴BC∥FN，BC=FN，CD=GM， ∴∠GQP=∠GME=90°， ∴∠PGQ＋∠GPQ=90°， ∵GE⊥HF， ∴∠FOP=90°， ∴∠PFO＋∠FPO=90°， ∵∠GPQ=∠FPO， ∴∠PGQ=∠PFO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∴FN=GM， ∴△MGE≌△NFH(ASA)， ∴GE=FH. 例2 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E是边BC上的点，AE⊥BD. 求证：BD=2AE. 证明：如图，设AE交BD于点F， F ∵AE⊥BD， ∴∠AFB=90°， ∴∠ABF＋∠BAE=90°， ∵四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=4， ∴∠ABE=∠C=90°，BC=AD=4， ∴∠ABF＋∠CBD=90°， ∴∠BAE=∠CBD， ∴△ABE∽△BCD， ∴==2， F ∴BD=2AE. 1. 你还能得到其他结论吗？ 解：1.CD=2BE，∠AEB=∠BDC等，答案不唯一； 题后反思 2. 按照“点A向右平移至点G，点B向上平移至点H，点D向下平移至点F， 如图”继续探究，两条线段垂直关系不变，例2中的结论还成立吗？ 2. 成立. 如解图，设HF交GE于点O，分别过点F，G作FM⊥AB于点M，GN⊥BC 于点N，FM交GE于点P，交GN于点Q. 解图 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠A=90°， ∵FM⊥AB，GN⊥BC， ∴四边形MBCF和四边形ABNG均是矩形， ∴MF=BC=AD，NG=AB，∠MQG=∠GQP=90°， ∴∠EGN＋∠GPQ=90°， ∵HF⊥GE， 解图 ∴∠HFM＋∠OPF=90°， ∵∠OPF=∠GPQ， ∴∠HFM=∠EGN， ∵∠HMF=∠ENG=90°， ∴△HFM∽△EGN， ∴===2， ∴HF=2GE. 解图 二阶 应用模型 1. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，连接BE， AF交于点O，BE⊥AF. 若AF=6，OE=2，则正方形ABCD的面积为 . 24 【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴A ... ...
