第一章 勾股定理 讲义（原卷+答案卷） 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 勾股定理 文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 拓展：勾股定理有许多变形，如用a，b表示直角边，c表示斜边，则有a2＋b2＝c2，还可以变形为 a2＝c2－b2，b2＝c2－a2. 易错点： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2． →易混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作直角边代入公式(如错算为a2＋c2＝b2). 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是( ). A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 下列几组数，能作为直角三角形三边长的是( ). A.2，3，5 B.12，18，22 C.2，，2 D.，， 勾股定理的证明 方法：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到a2＋b2＝c2. 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中S正方形ABCD＝(a＋b)2＝4×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中S正方形ABCD＝c2＝4×ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2. 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图(3)所示， 图(3)中S梯形ABCD＝(a＋b)×(a＋b)＝2×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为( ). A. B.2 C. D.3 我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB－EF＝6，则S正方形ABCD＝ . 勾股数 满足不定方程x2＋y2＝z2的三个正整数，称为勾股数，显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形. ①常见的勾股数：(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)、(8，15，17)、(7，24，25)…… ②如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： ①首先确定最大边，不妨设最大边长为c； ②验证：a2＋b2与c2是否具有相等关系： 若a2＋b2＝c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若a2＋b2＞c2时，△ABC是锐角三角形； 若a2＋b2＜c2时，△ABC是钝角三角形． 易错点：未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较(如用52＋132与122比较，导致判断错误) 已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是( ). A.∠A:∠B:∠C＝3:4:5 B.∠A＝∠B＝2∠C C.a:b:c＝2:2:3 D.a＝1，b＝2，c＝ 若一个三角形的三边长分别是m＋1，m＋2，m＋3，它是直角三角形，则m的值为 . 勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 勾股定理应用 主要应用是： ①已知直角三角形的两边，求第三边； ②利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； ③解决与勾股定理有关的面积计算； ④勾股定理在实际生活中的应用． 解决问题步骤： ①将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； ②确定所求线段所 ... ...