2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）（含解析）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨2025全国高中数学联合竞赛 一试试题(A卷) 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 1. 若 成等差数列，则正数 x 的值为 . 2.设集合 则 的元素个数为 3.设点 P 在椭圆 上， 为 的两个焦点，线段 F P 交椭圆 于点 Q .若 的周长为8 ，则线段 的长度为 4.设函数 f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+x.若 g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为 . 5.若正整数 k 满足 (i为虚数单位)，则k 的最小值为 . 6.设Γ 为任意四棱柱，在Γ 的12 条棱中随机选取两条不同的棱 将事件“l 所在直线与 所在直线平行°发生的概率记为 P(Γ)，则P(Γ)所有可能值为 7.平面中的 3 个单位向量 满足 (其中 [x]表示不超过实数 x 的最大整数)，则 的取值范围是 . 8. 将 1,2,3,…,9 排列为 a,b,c,d,e,f,g,h,i , 使得 3 个三位数 之和等于 2025 ，则不同的排列方法数为 . 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过屋或演算步骤. 9.(本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点集 若Γ 中的3个不同的点 M,P,Q 满足:M 为 PQ 的中点,且 求点 M 的坐标。 10. (本题满分 20 分) 设正四面体 ABCD 各棱长均为 2. P,Q 分别是棱 AB,AC 上的动点(允许位于棱的端点)，AP+AQ=2,M 为棱 AD 的中点.在 中，MH 为 PQ 边上的高.求 MH 长度的最小值. 11.(本题满分20 分)设 α 为实数,m,n 为正整数,且 证明： 加试试题 (A卷) 一、(本题满分40 分)如图，在 中，D为边 BC的中点，延长AD交 的外接圆于点 P.过点 B、P作一个圆与边 AC 相切于点 E，过点C、P作一个圆与边 AB 相切于点 F. 证明: AD、BE、CF 三线共点. (答题时将图画在答题卷上) 二、(本题满分 40 分)设m、n、k都是正整数,m≥2,且n≥k≥2.实数 满足以下两个条件： 证明： 三、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数n：存在 n的一个倍数N，其在十进制表示下不含数码0，但含有1，2， ，9中每一个数码，并且对任意 可以删去N 的十进制表示中的一个数码i，使所得的数仍是n的倍数. 四、(本题满分50 分)给定整数t>10000,甲、乙两人玩如下游戏：猜一个满足 的正整数 N，这里τ(N)是N 的正约数个数. 规则如下：先由甲确定一个正整数k，并告知乙，然后乙想一个满足要求的 N，并且(i)告诉甲τ(N)的值，(ii)给出N 的 k个不同的正约数(若 则乙只需给出 N 的所有正约数；若 则乙可以选择性给出 N 的 k个正约数). 求最小的k，使得甲一定能猜出 N. 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试(A卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. 若log (9x),log (27x),log (3x).成等差数列，则正数x的值为 . 答案: 9. 解: 设log x=t,则 成等差数列，即 解得t=2, 故.x=3'=9. 2.设集合 则A∪B的元素个数为 . 答案: 194. 解: 当a∈[0,∞)时, 关于a严格递增, 故|B|=|A|=100 (|X|表示有限集X的元素个数).又 故|A∩B|=6. 所以 3.设点P在椭圆 上，F ，F 为Γ 的两个焦点，线段F P交椭圆 于点Q.若△F PQ的周长为8，则线段F Q的长度为 . 答案： 解：由于 故F ,F 是Γ 与Γ 的公共焦点. 由椭圆的定义知 即 所以 即线段F Q的长为 4. 设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x), h(x)=f(x)+x.若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值 ... ...