第三章 圆（2） 讲义 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

2025秋季初三数学同步讲义17-圆（2） 【基础巩固】 1、与圆有关的大题———切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明； 2、尺规作图———三角形内切圆圆心（角平分线交点）、外接圆圆心（垂直平分线交点）； 3、隐圆有关的最值问题（定长、定角）。 【精准突破】 一．与圆有关的大题———切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明 例1．（切线的证明）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 例2．（第二问长度求解）如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 例3．（特殊平行四边形证明）如图，以为直径的交的角平分线于，过作于，交的延长线于．已知． (1)求证：为的切线． (2)连接，，请判断四边形的形状并证明． 【实战演练】 1．如图，在中，，以为直径作，G为的中点，连接交于E点，过E点作，D为垂足，延长交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 2．如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 3．如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中阴影部分的面积． 4．如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则_____．（结果保留和根号） 6．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 7．如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求弦的长． 8．如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． (1)求证：是的切线． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 9．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，半径为4，求长． 10．如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 11．如图，已知是的直径，直线与相切于点，平分． (1)求证：； (2)若，，则的长为_____． 12．如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 13．如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： (1)的度数； (2)的长； (3)的半径． 二．尺规作图 例1．已知：如图，△． 求作：，使圆心在边的中线上，且圆与、边相切． 【实战演练】 1．已知：，半径为r，求作：圆内接，使得，． 2．已知：如图：四边形，点为上一点． 求作：，使，且，与相切． 结论：_____． 3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：是上一点． 求作：与的平分线相切于点的． 4．（1）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． （2）如图，已知：． 求作：，使点O在上，，且与相切． 5．作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：及边上一点D． 求作：，使与边相切，点D为切点，且圆心O到两边的距离相等． 三．隐圆有关的最值问题（定长、定角） 例1．（定长）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 例2．（定角）如图，在矩形中，，F为边的中点，E为矩形外一动点，且，则线段长度的最大值为 ． 【实战演练】 1．如图所示 ... ...