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课件网) 第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用 图解课标要点 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建 立统计模型，并利用模型进行预测. 我们称上式为关于的一元线性回归模型. 其中，称为因变量或响应变量， 称为 自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数； 是与 之间的随机误差. 知识剖析 理解一元线性回归模型的注意点 1.函数模型与回归模型的区别：函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系， 是一种确定性的关系；回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定 性的关系.特别地，当两变量具有线性相关时，这两变量之间的关系就可以用一元线 性回归模型来描述.（链接教材107页练习第1题） 2.随机误差在一元线性回归模型中，通常 为随机变量,称为随 机误差.它的均值,方差，且方差越小,用预报真实值 的精度越高. 3.产生随机误差的原因：（1）响应变量除了受解释变量 的影响之外，还受 其他一些因素的影响；（2）由观测工具、测量精度所产生的测量误差或因计算产生 的误差；（3）不知道两个变量间真实的相关关系，而直接用一元线性回归模型来近 似这种关系. 学思用·典例详解 例1-1 在线性回归模型 中，下列说法正确的是( ) C A. 是一次函数 B.因变量是由自变量 唯一确定的 C.因变量除了受自变量 的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致 随机误差 的产生 D.可通过精确计算避免随机误差 的产生 【解析】在线性回归模型 中，方程表示的不是函数关系，因此不是一 次函数，故A错误；因变量不是由自变量 唯一确定的，故B错误；随机误差是不能 避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差，故D错误，只有选项C成立． 例1-2 (2025·山东师大附中模拟)已知某地的财政收入与支出 满足一元线性回归模 型（单位：亿元），其中，， ，如果今年该地 区的财政收入为10亿元，那么年支出预计不会超过( ) D A.9亿元 B.10亿元 C.9.5亿元 D.10.5亿元 【解析】 . 知识点2 经验回归方程和最小二乘法 1 经验回归方程 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间 具有线性相关关系，我们将称为关于 的经验回归方程,也称经验回归函 数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线. 2 最小二乘法 求经验回归方程 时，使得样本数据的点到经验回归直线的竖直距离 的平方之和最小（也就是 最小,即随机误差的平方和最小）的 方法叫做最小二乘法.求得的,叫做, 的最小二乘估计. , . （考试时，一般会给出公式） 其中， 称为回归系数，它实际上也就是经验回归方程的斜率.经验回归方程确 定之后，就可用于预测（预测所得结果为估计值,而非精确值）. . . . . 3 经验回归方程的性质 （1）经验回归直线一定过点（点 通常称为样本点的中心.）. （2）与正相关的充要条件是;与负相关的充要条件是 . （3）当增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数 的实际意义. . . 学思用·典例详解 例2-3 [多选题](2025·陕西省西工大附中期末)已知变量， 之间的一组相关数据如下 表所示，且变量，之间的经验回归方程为 ，则下列说法正确的是 ( ) 6 8 10 12 6 3 2 ACD A.变量， 之间呈现负相关关系 B. C.可以预测，当时， 约为2.6 D.由表格数据知，该经验回归直线必过点 【解析】对于A，由，得，故, 呈负相关关系，故A 正确； 对于B， ， ， （经验回归直线经过样本点的中心），解得 ，故B错 误； 对于C，当时， ，故C正确； 对于D，由得，经验回归直线必过点，即必过点 ，故D正确.故 选 . 知识点3 残差分析 1 残差的概念 对于响应变量，通过观测得到的数 ... ...
