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课件网) 沪科版（新教材）数学七年级下册培优备课课件 8.3.1完全平方公式 第8章 整式乘法与因式分解 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 名师点金 完全平方公式 的特点： 1.左边是两个数（或式子）的和（或差）的平方； 2.右边是这两个数（或式子）的平方和,再加上（或减去）这 两个数（或式子）乘积的2倍,可简记为“首平方，尾平方，首 尾2倍在中央”. . . . . 观 察 完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式. a b a b (a + b)2 a2 ab ab = + + (a + b)2 = a2 + 2ab +（ ） b2 a b a b (a － b)2 a2 = － + (a － b)2 = a2 －（ ）+ b2 b2 2ab 例 1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； （2）(3a －2b)2. 解 （1）(2x + y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 = 4x2 + 4xy + y2 运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么. 例 1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； （2）(3a －2b)2. （2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2 ( a － b )2 = a2 － 2 a b + b2 = 9a2 －12ab + 4b2 例 2 利用乘法公式计算：(－m－2n)2 . 解 (－m－2n)2 = [－(m + 2n)]2 = (m + 2n)2 = m2 + 4mn + 4n2 解 (－m－2n)2 = (－m)2－2·(－m)·2n + (2n)2 = m2 + 4mn + 4n2 看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2 知识点1 完全平方公式的特征 1. 下列算式能用完全平方公式计算的是( ) B A. B. C. D. 2. 若是关于的完全平方式，则 _____. 或7 知识点2 完全平方公式的几何解释 3. （1）如图，分别在图①、图②的相应位置写出各部分的 面积； （2）根据总面积与各部分面积之间的关系，写出两个等式. 由图①写出的等式是 _____，由图②写 出的等式是 _____. 知识点3 完全平方公式的应用 4. 计算 的结果为( ) C A. B. C. D. 5. 若，，则 ( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为，，所以 . 6. （1）已知，，则 ____； （2）已知，，则 ____； （3）已知 ,则 ___. 29 8 7. 运用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆 成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整 千与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数 的和或差. . . . . . . 8. [2025乐山] 先化简，再求值： ，其中 . 【解】 ， 当时，原式 . 易错点 对完全平方公式的特征理解不透而致错 9. 已知，，则 ___. 1 10. 将多项式 加上一个整式，使它成为完全平方式， 则下列不满足条件的整式是( ) D A. B. C. D. 11. （1）若,则 ___; 2 【点拨】已知等式两边平方得 ,则 . （2）设,,.若,,则 ____. 【点拨】 . 12. 若,求 的值. 解：因为 ,所以 .所以， ，所以 ,.所以 . 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若,则 的值为____； 【点拨】原等式可化为 ,所以 ，.所以 .所以 . （2）试说明：不论， 取什么值，多项式 的值总是正数； 【解】 . 因为, ,所以 .所以不论， 取什么值，多项式 的值总是正数. （3）已知,,是不等边三角形 的三边长，满足 ，且是三角形 的最大边长，则 的取值范围为 _____ _____ _____ _____ _____ _____. 【点拨】因为 ,所以 .所以 .所以， .所以 ,.又因为三角形为不等边三角形且 是最大边 长,所以的取值范围为 . 13. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平 方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数 的平方和. 【验证】 如 ，10为偶数，请把10的 一半表示为两个正整数的平方和. 【解】10的一半为5， . 【探究】 设【发现】中的两 ... ...
