2025-2026学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试 第三章 空间向量与立体几何(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台 2025-2026学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试 第三章 空间向量与立体几何 一、选择题 1．已知平行四边形ABCD,点E是CD的中点,点F满足,则等于( ) A. B. C. D. 2．已知空间向量,则( ) A.15 B. C.17 D. 3．已知点M是点在平面内的射影，则( ) A. B.9 C. D.18 4．如图,在四面体中,E,F分别为的中点,G为的重心,则( ) A. B. C. D. 5．已知,空间向量为单位向量,,则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为( ) A.2 B. C. D. 6．在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点坐标为( ) A. B. C. D. 7．如图,在三棱锥中,,,,点M在OA上,且,N为BC中点,则( ) A. B. C. D. 8．已知,,则等于( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知平面的法向量为,设平面的法向量为,直线l的方向向量为,则下列结论正确的是( ) A.若,则平面平面 B.若,则直线平面 C.若,则平面平面 D.若,则直线平面 10．若平面,平行,则下列可以是这两个平面的法向量的是( ) A., B., C., D., 11．已知平面,其中点,,则下列各点在平面内的是( ) A. B. C. D. 12．在正方体中，点E,F分别为棱，的中点，则( ) A. B.平面 C.平面 D. 三、填空题 13．已知空间向量,则_____. 14．如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体,的中点E到的中点F的距离为_____. 15．在四面体中,P是内部或边界上一点,满足,且,设,则的取值范围是_____ 16．在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点Q的坐标为_____. 四、解答题 17．已知. （1）若,求; （2）若,求x的取值范围. 18．直线与表示同一条直线,那么两个相反向量,的方向都代表直线的方向吗？ 19．如图所示,在直三棱柱中,底面是等腰三角形,,侧棱,,D是的中点,试问在线段上是否存在一点E（不与端点重合）,使得点到平面的距离为 20．已知,,. (1)若,求； (2)若,求x的取值范围. 21．如图,在直三棱柱中,底面为边长为2的等边三角形,点D为线段上一点,且满足. （1）证明:点D为线段中点; （2）求平面与平面的夹角. 22．如图,直四棱柱的底面为梯形,,,,若平面与交于点E． (1)求的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 参考答案 1．答案：B 解析：由于,,,由于点E是CD的中点, 所以,,,故, 故选：B. 2．答案：D 解析：由题意知,. 故选：D. 3．答案：C 解析：因为点M是点在平面内的射影，所以， 所以，所以. 故选：C. 4．答案：B 解析：因为E,F分别为的中点,所以. 因为G为的重心,所以, 所以. 故选:B. 5．答案：A 解析：由题意,,,, 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选:A 6．答案：D 解析：在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点坐标为. 故选:D 7．答案：A 解析：由题意,. 故选:A. 8．答案：A 解析：由,,可得:, 故选:A. 9．答案：AC 解析：设平面的法向量为 ,平面平面,A选项正确; ,直线平面,B选项错误; ,平面平面,C选项正确; ,直线平面或平面,D选项错误; 故选:AC. 10．答案：ACD 解析：A:由题意,,则两个法向量平行,故A正确; B:由题意,不存在实数使得,则两个法向量不平行,故B错误; C:由题意,,则两个法向量平行,故C正确; D:由题意,,则两个法向量平行,故D正确. 故选:ACD 11．答案：ABD 解析：A选项,对应,则,故A正确; B选项,对应,则,故B正确; C选项,对应,则,故C错误; D选项,对应,则,故D正确. 故选:ABD 12．答案：BC 解析：如图，以D为坐标原点，，，分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，， ，，， ，，. 由， ， 所以AE与BD不垂直，故A错误； 由，，， ， 所以， 又，所以平面，故B正确； 由，， 设平面的法向量为， 则即 令，得， 所以. 又平面， 所以平面，故正确； 由， 显然BE与不平行，故D错误. 13．答案： 解析：因为,所以. 故答案为: 14．答案： 解析：在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体 ,,的中 ... ...