第16讲 简单的轴对称图形 寒假预习讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第16讲 简单的轴对称图形 一、核心知识点 本节核心是研究角、线段、等腰三角形、等边三角形这四类简单轴对称图形的对称轴、性质及相关定理，是轴对称性质的具体应用。 （一）角———轴对称图形 1. 轴对称特征 对称轴：角平分线所在的直线（注意：是直线，非角平分线线段）。 验证：沿角平分线所在直线折叠，角的两边完全重合，因此角是轴对称图形。 2. 角平分线的性质定理（核心考点） 文字表述：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。 符号表示：若平分，点在上，于，于，则。 关键条件：① 点在角平分线上；② 距离是垂线段的长度（需作垂线）。 3. 角平分线的判定定理（逆定理） 文字表述：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号表示：若点在内部，，，且，则点在的平分线上。 关键条件：① 点在角的内部；② 到两边距离相等。 （二）线段———轴对称图形 1. 轴对称特征 对称轴：有两条，分别是线段的垂直平分线和线段所在的直线。 验证：沿这两条直线折叠，线段的两端点能完全重合，因此线段是轴对称图形。 2. 线段垂直平分线的性质定理（核心考点，第一节延伸） 文字表述：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 符号表示：若直线是线段的垂直平分线，点在上，则。 3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 文字表述：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表示：若，则点在线段的垂直平分线上。 推论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 （三）等腰三角形———轴对称图形 1. 定义与轴对称特征 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 对称轴：底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在直线）———四线合一，本质是同一条直线。 2. 等腰三角形的性质（核心考点） 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 符号表示：在中，若，则。 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 符号表示：在中，若，是顶角平分线，则，（反之亦然）。 3. 等腰三角形的判定定理 文字表述：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 符号表示：在中，若，则。 （四）等边三角形———特殊的等腰三角形 1. 定义与轴对称特征 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），是特殊的等腰三角形（腰=底边）。 对称轴：有三条，分别是三条边的垂直平分线（或三个角的平分线所在直线）。 2. 等边三角形的性质 性质1：三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于。 性质2：具备等腰三角形的所有性质（三线合一），且每条边上的中线、高、所对角的平分线都互相重合。 3. 等边三角形的判定定理 判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 （五）四类简单轴对称图形的核心对比 图形类型 对称轴数量 核心性质定理 特殊点 角 1条（角平分线所在直线） 角平分线上的点到角两边距离相等 距离是垂线段长度 线段 2条（垂直平分线、自身所在直线） 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 两条对称轴，互相垂直 等腰三角形 1条（底边垂直平分线） 等边对等角、三线合一 仅针对底边和顶角 等边三角形 3条（三边垂直平分线） 三角均为60°、三线合一（每条边） 特殊的等腰三角形 二、常见易错知识 1. 角的相关易错点 错误表现： ① 误将角的对称轴当作角平分线线段（正确是角平分线所在直线）； ② 应用角平分线性质时，忽略“垂线段”条 ... ...