第18讲 用关系式和图像表示变量之间的关系 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

第18讲 用关系式和图像表示变量之间的关系 一、核心知识点 （一）第3节 用关系式表示变量之间的关系 1. 关系式的定义与核心要素 定义：用数学式子表示自变量与因变量之间数量关系的式子，叫做关系式（也叫函数表达式，七年级阶段简化表述）。 核心要素： 必须明确自变量和因变量，通常将因变量写在等式左边，自变量写在等式右边； 关系式中可包含常量，需体现因变量随自变量变化的规律。 示例：汽车以60km/h的速度匀速行驶，路程（km）与时间（h）的关系式为，其中是自变量，是因变量，60是常量。 2. 关系式的书写规则 明确变量的单位（若有），关系式中通常不写单位，需在结论中注明； 遵循代数式书写规范（如数字与字母相乘，数字在前，乘号省略；除法写成分数形式）； 自变量的取值范围：需符合实际情境（如时间，路程）。 3. 从关系式中提取信息的关键能力 能力1：求因变量的值（已知自变量，求因变量） 步骤：将自变量的取值代入关系式，计算得出因变量的对应值。 示例：若，当时，（km）。 能力2：求自变量的值（已知因变量，求自变量） 步骤：将因变量的取值代入关系式，解关于自变量的方程。 示例：若，当时，，解得（h）。 能力3：分析变化趋势 依据关系式判断因变量随自变量的变化规律： 若关系式为一次式（如，）： ，因变量随自变量增大而增大； ，因变量随自变量增大而减小。 示例：（，随增大而增大）；（，随增大而减小）。 4. 关系式与表格表示的对比 表示方法 优势 劣势 适用场景 关系式 可准确计算任意自变量对应的因变量值，便于分析变化趋势 不直观，需计算才能得到具体数值 变量关系规律明确的场景 表格 直观展示已知自变量的对应值，读取方便 无法获取表格外的自变量对应值 变量取值有限且已知的场景 （二）第4节 用图像表示变量之间的关系 1. 变量关系图像的构成 横轴（x轴）：通常表示自变量（如时间、距离），需标注单位和刻度； 纵轴（y轴）：通常表示因变量（如路程、温度、高度），需标注单位和刻度； 图像上的点：每一个点的坐标表示一组自变量-因变量的对应值（为自变量取值，为因变量对应值）。 2. 常见图像类型与实际意义（以时间为自变量，路程为因变量为例） 图像形状 变化趋势 实际意义 示例 上升的直线 因变量随自变量匀速增大 匀速运动（速度不变，路程增加） 汽车匀速行驶 下降的直线 因变量随自变量匀速减小 匀速返回（速度不变，路程减少） 汽车匀速驶回起点 水平的直线 因变量不随自变量变化 静止（路程不变，时间流逝） 汽车中途停车休息 上升的曲线 因变量随自变量加速增大 加速运动（速度越来越快） 汽车启动加速 下降的曲线 因变量随自变量减速减小 减速运动（速度越来越慢） 汽车刹车减速 3. 从图像中提取信息的核心步骤 识别变量：确定横轴和纵轴分别表示的自变量和因变量（关键：结合实际情境判断因果关系）； 读取对应值：找到自变量的取值对应的图像上的点，过点作横轴和纵轴的垂线，读取坐标值； 分析特殊点意义： 起点：自变量为0时的因变量值（如时的初始路程）； 拐点：图像变化趋势改变的点（如从上升直线变为水平直线，表示从运动变为静止）； 终点：自变量取最大值时的因变量值（如运动结束时的路程）； 判断变化趋势：根据图像的上升、下降、水平判断因变量的增减或不变； 比较变化快慢：直线的倾斜程度（斜率）表示变化快慢，倾斜程度越大，变化越快（如陡的上升直线表示速度快）。 4. 图像与关系式、表格的联系 三者均可表示变量之间的关系，可相互转化： 关系式→表格：给自变量赋值，计算因变量值，列成表格； 表格→图像：将表格中的每一组数据作为点的坐标，描点并连线（规律明显时）； 图像→关系式：若图像为直线，可通过两点坐标求出关系式（一次函数，七 ... ...