专题01 平行线的拐点5大经典模型 重难点培优 讲义 2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

专题01 平行线的拐点5大经典模型 1.辅助线核心：过每个拐点作平行线，利用“平行传递性”拆分复杂角为内错角、同位角或同旁内角。 2.角度转化：优先使用“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”进行角的转化。 3.规律总结：外拐点多为“角的差”，内拐点多为“角的和”，多拐点按“奇偶位角之和相等”规律解题。 4.易错提醒：拐点位置（内侧/外侧）决定角的和差关系，避免混淆猪蹄模型与鹰嘴模型的结论。 【题型1】猪蹄模型（M型） 1.模型使用场景 两条平行线间有一个凹向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。 常考题型：求未知角的度数、证明角的和差关系，是期中/期末及中考基础常考模型。 2.模型证明 已知：，点是、之间的拐点，连接、。 证明：过点作。 因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，内错角相等）；由得（两直线平行，内错角相等）。 所以。 3.模型结论 核心结论： 拓展结论：若有个连续凹向拐点，则 【例题1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由． 我选的是_____为条件，选_____为探索结果（填序号） 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期末）综合应用 在学行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，_____，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：_____． (2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【题型2】铅笔头模型 1.模型使用场景 两条平行线间有一个凸向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。 常考题型：求多个角的和、结合角平分线求角的度数，高频出现在选择填空压轴题。 2.模型证明 已知：，点是、之间的拐点，连接、。 证明：过点作。 因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 由得（两直线平行，同旁内角互补）；由得（两直线平行，同旁内角互补）。 所以，即。 3.模型结论 核心结论： 拓展结论：若有个连续凸向拐点，则 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值 ... ...