中小学教育资源及组卷应用平台 2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块三 函数 专题4 一次函数的图象及应用 【考点一】一次函数与行程问题 一次函数与行程问的函数图象方法： （1）一看坐标轴：行程问题函数图象的 “基础语言”（必记） 行程问题的函数图象通常是路程 （纵坐标）时间（横坐标）图象，少数情况是速度（纵坐标） 时间（横坐标）图象，谨记：看图象，要先看坐标轴表示的意义； （2）二看关键点：图象起点、拐点、交点、终点 起点：确定出发时刻、初始位置（是否同地出发）； 拐点：预示着运动状态改变：速度变化、方向改变（前进→返回）、暂停（水平线段起点 / 终点）； 交点：同一时间，两人到达同一位置； 终点：到达目的地（路程不再变化）或运动结束. （3）三看变化趋势：坐标轴的意义不同，变化趋势的意义也不同，所以要在明确坐标轴的意义前提下，再看变化趋势才有意义。 【考点二】一次函数与销售问题 1．销售问题的常用数量关系 （1）总利润W = 单件利润 × 销量 = 总收入 总成本 （2）单件利润 = 售价 成本（进价）= 标价 × 折扣率 成本 （3）销量与定价联动问题： ① 涨价时：销量 = 原销量 每涨1元少卖的件数 × 涨价金额； ② 降价时：销量 = 原销量 每降1元多卖的件数 × 降价金额； （4）售价 = 标价 × 折扣率 2． 一次函数建模方法 建模要素 具体说明 自变量 x 设定 优先设 “定价调整量”： ① 设涨价 x 元（新售价 = 原售价 + x）； ② 设降价 x 元（新售价 = 原售价 - x）； ③ 设折扣率为 x（新售价 = 标价 ×x）。 因变量 y 设定 通常设 “总利润 W”（核心），或 “总销售额”“销量”。 函数表达式形式 ① 单件利润变化量 × 销量变化系数（如涨价 1 元，单件利润 + 1，销量 - 5，则 ； ② b = 初始总利润（未涨价 / 降价时的总利润，即原单件利润 × 原销量） 函数性质应用 ① 当 > 0：W 随 增大而增大（此时最大值在 取值上限，最小值在下限）； ② 当 < 0：W 随 增大而减小（此时最大值在 取值下限，最小值在上限）； ③ 当 = 0：W = （总利润不变，与定价调整无关） 【考点三】一次函数与梯度计价问题 1．梯度计价问题（如阶梯水费、电费、燃气费、个税等）是初中数学一次函数应用的中考高频题型（常以解答题形式出现），核心特征是 “分区间定价”——— 不同用量 / 收入区间对应不同单价，需通过分段一次函数建模求解。 2．梯度计价的本质是分段的一次函数： 梯度计价的本质是 “多区间线性定价”，每个区间对应一段独立的一次函数（ 为用量 / 收入，为总费用），关键在于明确： 分段函数要素 对应梯度计价的意义 自变量 实际用量（如水、电度数）或收入额（如个税应纳税所得额），需注意 “区间分界点”（如电费 1-200 度为第一档，201-400 度为第二档）。 k 对应区间的 “单价”（如第一档电费0.5元/度，第二档 0.8 元/度），（费用随用量增加而上升） b 前序区间的 “累计总费用”（第一档 ，第二档 b =第一档最大用量 第一档单价，第三档 = 前两档总费用，以此类推） 自变量范围 每个区间的 取值范围（含左端点、不含右端点，或反之，需结合题目 “不超过”“超过” 表述确定） 3. 通用解题步骤： 第一步：审题析区间 ——— 拆分梯度，明确关键参数； （1）找分界点：从题目中提取梯度划分的关键数值（如 “电费：不超过 200 度按 0.5 元 / 度，超过 200 度的部分按 0.8 元 / 度”，分界点为 200 度）； （2）列区间表：按 “用量从小到大” 拆分区间，标注每个区间的 “单价” 和 “累计基础费用 ”； （3）定变量：设为实际用量/收入，为总费用； 第二步：列函数表达式 ——— 分区间写一次函数 根据 “= 本区间单价 + 前序累计费用”，分区间推导表达式， 关键：表达式需标 ... ...
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