2025年“南外杯”数学竞赛试题 一、填空题（共8题，每题4分，共32分） 1.已知实数满足，则。 2.已知中，，，，，则。 3. 已知，，则。 4. 已知，且，，，则的最小值为。 5. ，则的最大值为。 6. 方程的所有实数解为。 7. 若对任意的，均有，则的取值范围为。 8. 已知，且，则。 二、选择题（共4题，每题3分，共12分） 9. 已知正方形，则平面上使得，，，都是等腰三角形的点的个数为（ ） A.5 B.9 C.11 D.13 10. 已知锐角三角形的两边为，，则第三边的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 定义集合，，，，，，，，，…，满足，且为前个正奇数，设，则的值为（ ） A.31 B.32 C.33 D.34 12. 已知，已知无解，则的解数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 注：本题应在实数范围内讨论解的情形。 三、解答题（共4题，共56分） 13. 解方程：。 14. 已知线段及两圆，，求作直线，使直线截两圆的弦长为。 15. 已知，，均为正三角形，且，，分别为它们的中心，求证：为正三角形。 16. 已知，的两个根满足，求证：对任意的，有。 2025年“南外杯”数学竞赛试题解答 一、填空题（共8题，每题4分，共32分） 1. 已知实数满足，则 . 填 . 解：显然不满足条件. . 2. 已知中，，，，，则 . 填 . 解：，. 3. 已知，，则 . 填 . 解：. . 4. 已知，且，，，则的最小值为 . 填 . 解：如图，矩形的，，、在上. ，， . 、在上，，，. 图中；； .当且仅当，， 时等号成立. 5. ，则的最大值为 . 填 . 解：. 6. 方程的所有实数解为 . 填 . 解： ； . 7. 若对任意的，均有，则的取值范围为 . 填 . 解：. 不满足题意. 若； 若. . 8. 已知，且，则 . 填. 解：设，. ，. 若，则与矛盾； 若，则 . 二、选择题（共4题，每题3分，共12分） 9．已知正方形，则平面上使得，，，都是等腰三角形的点的个数为（ ） A．5 B．9 C．11 D．13 注：本题是1991年江苏省初中数学竞赛题． 选B． 解：正方形中心满足要求，再以正方形的四边为边向形内、形外作正三角形各可得到四个满足条件的点（图中只画出了以为边的正三角形．） 应选B． 10．已知锐角三角形的两边为1，3．则第三边的取值范围为（ ） A． B． C． D． 选D． 解：设此三角形的第三边为，则，． 又，，综上，选D． 11．定义集合，，，，，，，，，…，满足，且为前个正奇数，设，则的值为（ ） A．31 B．32 C．33 D．34 选B． 解：2025是第1013个正奇数．． 12．已知，已知无解，则的解数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 注：本题应在实数范围内讨论．本题是2008交大冬令营的试题． 选A． 解：无实数根． （为了变形成） 或． 前一个方程无实数根，后一个方程的 从而后一个方程无实数根． 即 没有实数根． 解法二： 的实数根只有两种可能：① 的根；② 存在 ， 且 ．即 的图象上存在两点 与 ， 由 无实数根，故情形①的实数根不存在，故，函数 的图象在直线 的某一侧．从而图象上也不存在关于 对称的两点．于是情形②的实数根也不存在． 于是， 没有实数根． 解法三：由 无实数根，即当 时， 恒成立，于是 恒成立．当 时， 恒成立，于是 恒成立． 故 没有实数根． 三、解答题（共4题，共56分） 13．解方程：． 注：怀疑数据有错，把题目改为 ．做法一样，数字简单些． 解：去分母， ，． 14．已知线段 及两圆 ，，求作直线 ，使直线 截两圆的弦长为 ． 注：本题如果需要讨论解的各种情况是非常复杂的．兹不赘述． 作法：设 、 的半径分别为 ，，不妨设 ． 1．作 ，使其斜边为 ，一条直角边为 ．其另一条直角边为 ，以 为圆心， 为半径作圆（记为 ）； 2．作 ，使其斜边为 ，一条直角边为 ．其另一条直角边为 ，以 为圆心， 为半径作圆（记为 ）； 3．作 ， 的公切线 ，即为所求．（以 为圆心 为半径作 （记为 ，以 为直径作圆， ... ...
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