第五章 一元函数的导数及其应用 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于( ) A.sin α B.cos α C.2α+sin α D.2α-sin α 2.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=( ) A.1 B. C.- D.-1 3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 4.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.不存在 5.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是( ) A.2 B.1 C.0 D.由a确定 6.下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f'(x)的图象,则f(-1)的值为( ) (1) (2) (3) A. B.- C. D.- 7.已知y=f(x)是定义在R内的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是( ) A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 8.若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在R上为增函数,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列函数中,存在极值点的是( ) A.y=x- B.y=3x2+3x C.y=-2x3-x D.y=xln x 10.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则( ) A.当x=-2时,函数y=f(x)取得极值 B.当x=1时,函数y=f(x)取得极值 C.y=f(x)的图象在点(0,f(0))处切线的斜率小于零 D.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增 11.已知函数f(x)=则( ) A.若f(x)有两个极值点,则a=0或
C.若f(x)有极大值点,则a>- D.使f(x)的图象连续的a有3个取值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上. 12.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为 . 13.已知函数f(x)=x-ln(x+a),若a=2,则f'(0)= ;若f(x)的最小值为0,其中a>0,则a的值为 . 14.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则g(a),f(b)的大小关系为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在①函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直;③函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线4x-y=0平行,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,求出实数a的值. 已知函数f(x)=x2+2aln x(a≠0). (1)若 ,求实数a的值; (2)若函数g(x)=+f(x)在区间[1,2]上单调递减,求实数a的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a>0). (1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当a>1时,求函数y=f(x)的单调区间和极值. 17.(15分)已知函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a. (1)当a=0时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围; (2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 18.(17分)高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分)满足5≤t≤25,t∈N*.经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t). (1)求函数P(t)的解析式; (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000(单位:元),当发车时间间隔为多少分钟时,单位时间的净收益最大 19.(17分)已知函数f(x)=(x- ... ... 
