(课件网) 北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 情境导入 A B P 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 点P是码头的位置 进行新课 我们曾经探索过线段垂直平分线的性质： 请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。 求证：PA = PB。 A B C M N P 知识点1 线段垂直平分线的性质 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。 求证：PA = PB。 A B C M N P 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB = 90°。 ∵ AC = BC，PC = PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）。 ∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。 如果点P与点C重合，那么结论显然成立。 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，PA＝6，则线段PB的长为( ) A．3 B．4 C．6 D．7 C 返回 2．[达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D， 则△BDC的周长为( ) A．21 B．14 C．13 D．9 C 返回 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： ∵MN⊥AB于点C，且AC=BC， ∴PA=PB 线段垂直平分线的性质： A B C M N P 这一点是任意一点 练一练 如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（ ） A.ED=CD B.AE=AC C.AD=BD D.BD=AC C 3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于_____。 60° 返回 4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是_____。 4 返回 尝试·思考 知识点2 线段的垂直平分线的判定 你能写出这个定理的逆命题吗？ 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 逆命题 它是真命题吗？ 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA = PB。 求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。 A B P 考虑点P是否在线段AB上。 证明：∵ PA=PB， ∴ 点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。 ①当点P在线段AB上时： A B P ②当点P在线段AB外时： 证法一： 过点P 作PC⊥AB，垂足为C。 ∵PA = PB， PC = PC， ∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)。 ∴AC = BC， 即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 C A B P 证法二： 取AB的中点C，连接PC。 ∵ AP=BP，PC=PC，AC=BC， ∴ △APC≌△BPC(SSS)。 ∴ ∠PCA=∠PCB。 又∵ ∠PCA+∠PCB=180°， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。 ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 C ②当点P在线段AB外时： A B P 证法三： 过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。 ∵ AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴ △APC≌△BPC(SAS)。 ∴ AC=BC，∠PCA=∠PCB。 又∵ ∠PCA+∠PCB=180°， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。 ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 C ②当点P在线段AB外时： 5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。 解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。 ∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。 返回 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 线段的垂直平分线的判定： A B P 归纳总结 ... ...
