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课件网) 定义 命题 证明 12 .4 12 定 理 1.会证明三角形的内角和定理及其推论，能应用定理或推论进行相关证明或计算. 2.掌握多边形的内角和与外角和公式，并能运用其解决计算问题. 3.掌握反证法的定义，能用反证法进行相关证明. 在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用 “撕角”的办法来说明的. 下面，我们来证明这个命题: 证明：作边BC的延长线CD，过点C作CE∥AB(图12-5). 经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理： 你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗 解： 解： 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem). 定理可以作为证明后续命题的依据. 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图12-6，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A, ∠B 是 与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD =∠A+∠B. 证明：∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义), ∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理), ∴∠ACD =180°－∠ACB, ∠A+∠B =180°－∠ACB (等式的性质). ∴∠ACD =∠A+∠B (等量代换). 由例1，我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 1.已知：如图，AC，BD相交于点O. 求证：∠A+∠B =∠C+∠D. 证明：在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°(三角形内角和定理)， ∴∠A+∠B=180°－∠AOB. 同理∠C+∠D =180°－∠COD. ∠AOB=∠COD(对顶角相等). ∠A+∠B=∠C+∠D. 2.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并 给出证明. 解：逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形.逆命题是真命题. 已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B=90°. 求证： △ABC是直角三角形. 证明： ∵∠A＋∠B＋∠C=180°三角形内角和定理)，∠A＋∠B=90°(已知)， ∴∠C=180°－90°=90°. ∴△ABC是直角三角形. 图12-7是一个任意的四边形ABCD. 在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形. 这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和，即 四边形ABCD的内角和=180°×4－360° =180°× (4－2)=360°. 对任意的五边形，同样可得： 五边形的内角和=180°×5－360°=180°×(5－2)=540°. 对于n边形的内角和，你有什么猜想 n边形的内角和为(n－2)·180°. 一般地，可以得到多边形内角和定理： 多边形有内角，也有外角，如图12-8，延长CD，得到射线CF，∠EDF 是五边形ABCDE的一个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，...，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 如图12-9, △ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角，因为三角形的内角和为180°, 所以三角形的外角和是 180°×3－180°，即360°. 如图12-10, 四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角，因为四边形的内角和为360°, 所以四边形的外角和是180°×4－360°, 即360°. 我们可以把上面的结果推广到一般的n边形，得到: 多边形的外角和=180°·n－多边形的内角和 =180°·n－180°·(n－2) =180°×2=360°. 这样就得到了多边形外角和定理: 1.求证：如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为 . 证明：∵n边形的内角和为(n－2)·180°=180°×n－360°， ∴当n边形的所有内角都相等时，其内角为 . 2.多边形中小于120°的内角最多有几个 解：多边形中小于120°的内角最多有5个。 通过实验验证多边形外角和定理 多边形外角和定理告诉我们，多边形的外角和与边数无关. 可以通过下面的实验来验证这一结论. 在操场上画出一个任意的多边形，比如图中的六边形ABCDEF，然后从边AB上的一点S出发，沿着A ... ...
