9.4 三元一次方程组 课件(共36张PPT) 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

(课件网) 第9章 二元一次方程组 9.4 三元一次方程组 上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题。本节将学习三元一次方程组及其解法，并用它解决含有更多未知数的实际问题。 小亮与爸爸、爷爷三人的年龄之和为 120 岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸的年龄之和多 12 岁，爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差。他们三人的年龄分别是多少 这个问题中有哪些未知量 存在哪些等量关系 这个问题中有三个未知量：小亮、爸爸和爷爷的年龄。 设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别是 x 岁、y 岁、z 岁。根据题意，列出以下三个方程： x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，将这三个方程联立，得到方程组 x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 ① ② ③ 像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组 (system of linear equations with three unknowns). 用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，那么能否用同样的思路解三元一次方程组呢 观察每一个方程的形式，用代入消元法消去未知数义，把这个三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，就可以逐步求出每一个未知数的值了。 x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 ① ② ③ 将方程②分别代入①和③，消去未知数，得二元一次方程组 x＋y＝54， ④ －2x＋y＝12。⑤ 解由④⑤组成的二元一次方程组，得 x＝14， y＝40。 x＋y＋z＝120， z＝x＋y＋12， y－x＝z－y。 ① ② ③ 代入方程②，得 z＝66. 原三元一次方程组的解是 所以，小亮14岁，爸爸40岁，爷爷66岁。 x＝14， y＝40， z＝66. 解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值。 消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。 解方程组 例 1 y＋2z＝5， x－2y＋3z＝3， 2x＋3y－2z＝－3。 ① ② ③ 解：2×②－③，得 －7y＋8z＝9。 ④ ①与④组成二元一次方程组 y＋2x＝5， －7y＋8z＝9。 解方程组，得 y＝1， z＝2。 解方程组 例 1 y＋2z＝5， x－2y＋3z＝3， 2x＋3y－2z＝－3。 ① ② ③ 将 y＝1，z＝2 代入 ②，得 x＝－1。 所以原方程组的解是 x＝－1， y＝1， z＝2。 例 2 从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km。汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h。求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米 解：设从甲地到乙地时，平地为 x km，上坡为 y km，下坡为 z km，则从乙地到甲地，平地为 x km，上坡为 z km，下坡为 y km。 根据题意，得 x＋y＋z＝98， ＋＋＝2.8， ＋＋＝2.7。 解方程组，得 x＝80， y＝12， z＝6。 所以，从甲地到乙地时，平地为 80 km，上坡为 12 km，下坡为 6 km。 1. 解下列方程组： y＝5－x－3z， (1) x＋y＋z＝1， 2x－y－4z＝5； x＋y－z＝4， (2) x＋y＋z＝2， －x＋2y＋z＝2。 y＝5－x－3z， (1) x＋y＋z＝1， 2x－y－4z＝5； ① ② ③ 解：将①分别代入②③，消去未知数 y， 得 解方程组，得 将 x＝4，z＝2 代入①，得 y＝－5. 5－2z＝1， 3x－z＝10， x＝4， z＝2. 所以原方程组的解是 x＝4， y＝－5， z＝2。 x＋y－z＝4， (2) x＋y＋z＝2， －x＋2y＋z＝2。 ① ② ③ 解：①＋③，得 3y＝6，解得 y＝2. ①－②，得 －2x＝2，解得 z＝－1. 将 y＝2，z＝－1 代入①， 得 x＋2＋1＝4， 解得 x＝1. 所以原方程组的解是 x＝1， y＝2， z＝－1. 2. 现有一个三位数，三个数位上的数字之和 ... ...