中考数学模型常考专练模型八：对角互补模型（PDF，含答案）

中考数学@常考模型专练 模型八对角互补模型 类型 1 全等型 1．已知 是△ 的角平分线，点 ， 分别在边 ， 上， = ， = ，△ 与 △ 的面积之和为 . 图 1 图 2 图 3 图 4 （1）填空：当∠ = 90 ， ⊥ ， ⊥ 时. ①如图 1，若∠ = 45 ， = 5√2，则 =_____， =____； ②如图 2，若∠ = 60 ， = 4√3，则 =____， =_____； （2）如图 3，当∠ = ∠ = 90 时，探究 与 ， 的数量关系，并说明理由； （3）如图 4，当∠ = 60 ，∠ = 120 ， = 6， = 4时，请写出 的大小，并说明理 由. 25/43 中考数学@常考模型专练 类型 2 相似型 2．[2023浙江丽水]如图，在四边形 中， // ，∠ = 45 ，以 为腰作等腰直角三 角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 = 1，则 的长是（） √2 A．√2 B． C．2 D．1 2 3．综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小 组继续利用上述结论进行探究. 提出问题： 如图 1，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果∠ = ∠ ，那么 ， ， ， 四点在同一个圆上. 图 3 探究展示： 如图 2，作经过点 ， ， 的⊙ ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接 ， ，则 ∠ + ∠ = 180 （依据 1）. ∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 180 . ∴点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点 ， 在点 ， ， 所确定的⊙ 上（依据 2）， ∴点 ， ， ， 四点在同一个圆上. （1）反思归纳：上述探究过程中的“依据 1”“依据 2”分别是指什么？ 依据 1：_____； 依据 2：_____. （2）如图 3，在四边形 中，∠1 = ∠2，∠3 = 45 ，则∠4的度数为_____. 26/43 中考数学@常考模型专练 （3）拓展探究：如图 4，已知△ 是等腰三角形， = ，点 在 上（不与 的中点 重合），连接 .作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ， ， . 图 4 ①求证： ， ， ， 四点共圆. ②若 = 2√2， 的值是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由. 27/43中考数学@常考模型专练 模型八 对角互补模型 类型 1 全等型 1．已知 是△ 的角平分线，点 ， 分别在边 ， 上， = ， = ，△ 与 △ 的面积之和为 . （1）填空：当∠ = 90 ， ⊥ ， ⊥ 时. ①如图 1，若∠ = 45 ， = 5√2，则 =_____， =____； 图 1 ②如图 2，若∠ = 60 ， = 4√3，则 =____， =_____； 图 2 （2）如图 3，当∠ = ∠ = 90 时，探究 与 ， 的数量关系，并说明理由； 图 3 （3）如图 4，当∠ = 60 ，∠ = 120 ， = 6， = 4时，请写出 的大小，并说明理 由. 图 4 答案：解:①5√2；25 ②4；8√3 52/96 中考数学@常考模型专练 1 （2） = .理由如下： 2 如图，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 交 的延长线于点 . ∵ 是△ 的角平分线，∴ = . ∵ ∠ = ∠ = 90 ， ∴ ∠ + ∠ = 180 . 又∵ ∠ + ∠ = 180 ， ∴ ∠ = ∠ ， ∴△ ≌△ (AAS). ∴ = ， ∵ ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 ， 即∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 , ∴ ∠ = ∠ . ∴△ ≌△ (ASA). ∴ = = ， △ = △ ， ∴ = △ + △ = △ + △ = △ ， ∵ ⊥ ， = ， = ， 1 ∴ = △ = . 2 （3） = 6√3. 理由：如图，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 . ∵ ⊥ ， ⊥ ， 平分∠ ， ∴ = ， ∵ ∠ = ∠ = 90 , ∴ ∠ = 180 ∠ = 120 , ∴ ∠ = ∠ = 120 ,∴ ∠ = ∠ , 53/96 中考数学@常考模型专练 又∵ ∠ = ∠ = 90 , ∴△ ≌△ , ∴ = △ + △ + △ = △ + △ ,把△ 绕点 顺时针旋转120 得到△ ， 则∠ = 60 ， = = 6，过点 作 ⊥ 于点 ， ∴ = sin60 √3 = 4 × = 2√3， 2 1 ∴ = △ + △ = △ + △ = △ = × 6 × 2√3 = 6√3. 2 类型 2 相似型 2．[2023浙江丽水]如图，在四边形 中， // ，∠ = 45 ，以 为腰作等腰直角三 角形 ，顶点 恰 ... ...