(课件网) 人教版数学9年级下册培优备课课件 27.2.3 相似三角形应用举例 第二十七章 相似 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 学习目标 能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题. 1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？ 2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？ 导入新知 导入新知 用我们学过的知识怎样测量前面那些物体的高度呢？ 利用相似三角形测量高度 传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长？ 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ． ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 返回 C 1. 小菲和妈妈去某景区游玩．在景区门口，小菲利用皮尺，测得身高1.7 m的妈妈的影长为1 m，同一时刻，她测得该景区大门的影长为10 m，则大门的高为( ) A．15 m B．16 m C．17 m D．18 m 返回 2. B [教材P43习题T10变式]如图，为测量亭子的高度，小菲在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、平面镜和亭子底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到亭子的顶端．已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m， 镜子与亭子的水平距离为10 m， 则亭子的高度为( ) A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m A F E B O ┐ ┐ 还有其他的测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) B 试一试： A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据，计算河 宽 PQ. 利用相似三角形测量宽度 P R Q S b T a 45 m 90 m 60 m 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ P R Q S b T a 45 m 90 m 60 m 例 3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD = 80 m， DC = 30 m，EC = 24 m，求 两岸间的大致距离 AB． E A D C B 30 m 24 m 80 m 解：∵∠ADB =∠EDC， ∠ABC =∠ECD = 90°， ∴△ABD∽△ECD. ∴ ，即 ， 解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致 距离为 64 m. E A D C B 30 m 2 ... ...
