28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形- 课件（共30张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(课件网) 人教版数学9年级下册培优备课课件 28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 解与方向角有关的问题 典例精析 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：如图，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 65° 34° P B C A 1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件解直角三角形： （1）c = 8，∠A = 30°； （2）b = 7，∠A = 15°； （3）a = 5，b = 12. 解:（1）∠B = 60°，a = 4，b = 4 ； （2）∠B = 75°，a ≈ 1.9，c ≈ 7.2； （3）c = 13，∠A ≈ 22.62°，∠B ≈ 67.38°. 2．如图，厂房屋顶的人字架 (等腰三角形) 的跨度 BC = 10 m，∠B = 36°，求中柱 AD (D 为底边中点) 和上弦 AB 的长 (结果保留小数点后一位). 解：∵ BC = 10 m，D 为底边中点， ∴ BD = 5 m，AD⊥BC. 在 Rt△ABD 中，∠B = 36°， ∴ AD = BD·tanB = 5tan36° ≈ 3.6 (m)， AB = = ≈ 6.2 (m). 例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续 向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则 AF 的长是 A 到 BC 上所有 点中的最短距离. 北 东 A C B 60° 30° D E F ∵ BD∥CE∥AF， ∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． 3．如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC = 1200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 α = 16°31′．求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）． 解：由题意知∠B = α = 16°31′， 在 Rt△ABD 中，AC = 1200 m， ∴ AB = = ≈ 4221 (m). 答：飞机 A 与指挥台 B 的距离约为 4221 m. 解与坡度有关的问题 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ A B C 观察与思考 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ α l h i = h∶l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 4．从高出海平面 55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 21°，此时帆船距灯塔多远（结果取整数）？ 解：如图，由题意知∠B =∠BAD = 21°，AC = 55 m. 在 Rt△ABC 中，BC = = ≈ 143（m）． 答：此时帆船距灯塔约 143 m. 5. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 5.5 m. 测得斜坡的倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离 （结果保留小数点后一位）． 解：如图，由题意得 AC = 5.5 m，∠A = 24°，则 AB = AC÷cosA = 5.5÷cos24° ≈ 6.0 (m)． 答：相邻两树间的坡面距离约为 6.0 m． 例 3 如图，一山坡的坡度为 i = ... ...