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课件网) 3.1.1 椭圆的标准方程 普通高中教科书 湖南教育-出卷网- 选择性必修第一册 第三章圆锥曲线与方程 1 广泛的应用 一、直观感知，认识生活中的圆锥曲线 2 名称的由来 如图所示，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角（设圆锥轴截面的顶角为 ，截面与轴所成角为 ），那么会得到怎样的曲线呢？ 问题1 历史上，古希腊人曾经用纯几何的方法研究圆锥曲线，但17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线，你能猜测这些变化的大致原因吗？ 笛卡尔 （1596年-1650年）17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数的方法研究圆锥曲线. 用坐标法来研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化，精确地计算 问题2 追问：如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思想和构架吗？ 本章的研究基本思路是 现实背景→曲线的概念→曲线的方程→曲线的性质→实际应用 F2 F1 动手实验 做一做 二、探究新知———椭圆的定义 取一条定长的细绳,如果把它的两端固定在图板上的两个点F1，F2处，（绳长大于两点间距离|F1F2|）,用铅笔尖把细绳拉紧，移动笔尖，观察所画出的轨迹是什么曲线？ 问题3 1.上面的作图过程中，哪些要素是变的，哪些要素是不变的？ 2.在这一过程中移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 想一想 问题4 二、探究新知———椭圆的定义 追问1：如果绳长恰好等于两点间距离|F1F2|，移动笔尖，画出的图形是什么？ 追问2：如果绳长小于两点间距离|F1F2|呢？ 平面上到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距。 二、探究新知———椭圆的定义 椭圆是满足什么样条件的点的轨迹？ 到两个定点F1、F2的距离之和为常数的点的轨迹叫作椭圆。 平面上 以上的描述严谨吗？ 问题5 椭圆的定义 符号语言 |PF1|+|PF2|=2a(常数)（大于|F1F2|=2c） F1 F2 P 二、探究新知———强调定义 椭圆定义中容易遗漏的地方： （1）平面上； （2）距离之和是常数，即： （3）距离之和大于焦距，即：2a>|F1F2|=2c |PF1|+|PF2|=2a 巩固练习 1.平面上到两个定点A(-4,0),B(4,0)的距离之和为8的点的轨迹是什么？ 线段AB 椭圆，排除与B、C共线的两点 2.已知三角形ABC的周长为16，BC边长是6，顶点A的轨迹是什么？ 解析几何的核心思想是什么？ O x y P F1 F2 问题6 二、探究新知———椭圆的标准方程 追问1：何为代数方法？求解曲线方程的基本步骤有哪些？ 追问2：怎样建系才能使得求解方程简单？ 代数方法解决几何问题 建系→设点→列式→化简 建系 设点 列式 以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系. 设P(x,y)是椭圆上任意一点，|F1F2|=2c,则有F1(-c,0),F2(c,0),又设P到F1,F2的距离和为2a. 由定义知，|PF1|+|PF2|=2a 化简 y x P (x,y) F1 (-c,0) F2 (c,0) 则： “两边平方” 如何化简带根式的式子？ ① “移项再平方” … … 二、探究新知———椭圆的标准方程 问题7 二、探究新知———椭圆的标准方程 叫做椭圆的标准方程. 两边再平方，得 整理得 先移项，再平方 两边除以 得 假设 则 它表示： ① 椭圆的焦点在 轴; ② 焦点坐标为 ③ 二、探究新知———椭圆的标准方程 O x y F1 F2 P 可以看出这是一个二元二次方程 当椭圆焦点在y轴上时方程是怎样的？ 问题8 二、探究新知———对比研究 O x y F1 F2 P y x P (x,y) F1 (-c,0) F2 (c,0) 如何区分焦点在哪个坐标轴上？ 问题9 焦点在y轴上椭圆的标准方程 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴 ... ...
