河南省开封市2026年高中毕业年级1月第一次质量预测（一模）数学试卷（PDF版，含答案）

2026 届高三年级第一次质量检测 数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B A A D D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 答案 AB ACD ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．32 13． f x 3x 答案不唯一，f x ax a e 2均满足 14． 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） （1）设点P的坐标为 (x, y)，依题意得 | x | x 2 2 y2 ，………2 分 y2化简得 4 x 1 2，所以W的方程为 y 4 x 1 .………5分 （2）设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，由题意， l : y x 2，………7分 2 将 l带入方程 y 4 x 1 ，化简得： x2 8x+8 0，则 x1 x2=8，………11 分 由W 的定义可知 AB AF BF =x1 x2=8 .………13 分 16.（15 分） （1） f (x)=cos x asin x，………1 分 依题意， f ( )=cos asin = 2 2 a= 2，………3分 4 4 4 2 2 解之得： a=3.………5分 1 （2）令 f (x)=cos x 3sin x=0，解之得： tan x= ，………6 分 3 令 g x f (x)，则 g'(x)= sin x 3cos x 0，所以 f (x) 0, 在 2 上单调递减，………7 分 记 tan = 1 ， 3 0, 2 ， 则 x 0, ，f (x) 0，f x 单调递增， x , ，f (x) 0，f x 单调递减， 2 所以 f x 在 x= 处取极大值，………9 分 又因为 sin = 10 cos =3 10， ，………11 分 10 10 所以 f sin +3cos = 10 +9 10 = 10，………12 分 10 10 1 又 f 0 sin0+3cos0=3 ， f sin +3cos =1，………14 分 2 2 2 比较可得：函数 f x 在区间 0, 上的最大值为 10，最小值为 1.………15 分 2 17.（15 分） （1）M 是线段OC上的动点，且直线QM∥平面PBD，故平面QOC∥平面PBD，………2分 又平面QOC 平面ABCD=OC，平面PBD 平面ABCD=BD，所以OC∥BD，………4 分 所以 AOC= OBD= ，又OB=OD，所以 OBD是正三角形，所以OB=BD=OC，………6 分 3 所以OBDC是平行四边形，所以CD∥AB .………7 分 （2）取CD的 中 点 记 为 N ，易证ON AB， 如图，分别以ON,OB,OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz， ………8 分 不妨设 AB 2r，又 PAB是正三角形， 则A 0, r,0 ，B 0,r,0 ，D 3r r , ,0 ，P 0,0, 3r2 2 ， 则 AP 0,r, 3r ,BP= 0, 3r r r, 3r ,BD= , ,02 2 ， ………10 分 设n (x, y, z)为平面 PBD的法向量， n BP 0, ry 3rz 0, 有 则 3r r n BD 0, x y 0, 2 2 令 x=1，所以平面 PBD的一个法向量n (1, 3,1)， ………12 分 所以 cos n, AP = n A P 3r+ 3r 15 ，………14 分 | n || AP | 2 5r 5 PA PBD 15所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………15 分 5 18.（17 分） 4 3 3 2 3 （1）设 A =“编号为 2 的抽屉里放的是黑球”,则 P A .………3 分 7 6 7 6 7 （2） X 的可能取值为 1，2，3，4，………4分 C1C3 4 C2P(X 1) 4 3 4C 2 18 4 3 ， P(X 2) C 35 C4 ， 7 7 35 C3C1 4P(X 3) 4 3 12 C 14 ， P(X 4) 4 ， C7 35 C 4 7 35 用表格表示分布列，如下表所示： X 1 2 3 4 4 18 12 1 P ………8分 35 35 35 35 E(X ) 1 4 2 18 3 12 1 16 4 .………9 分 35 35 35 35 7 （3）依题意，编号为 1 的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下 5 种情况：………10 分 2 4 3 3 2 3 ①白—黑—白—白……， P1 ，7 6 5 4 35 4 3 3 2 2 2 ②白—黑—白—黑—白……， P2 ，7 6 5 4 3 35 P 4 3 3 2 3③白—白—黑—白……， 3 ，7 6 5 4 35 4 3 3 2 2 2 ④白—白—黑—黑—白……， P4 ， ... ...