有特殊三角形必有特殊性质 专题训练（含答案）

有特殊三角形必有特殊性质 --大胆猜想，小心求证：Rt△、等腰△，等边△、全等△（1） 夯实基础，稳扎稳打 1．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，求AD的长度． 2.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，并交于点，若，求的长 3.如图，在四边形中，，，，，求的度数． 4.如图，在中，点为的中点，，，，，求的长． 5.如图，在中，，是的中点，于点，交于点若，，． 连续递推，豁然开朗 6.如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点若，求的长． 7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点． ①求证：MN⊥AC；②求MN的长． 思维拓展，更上一层 8．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积． 　　　 9.如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长，交于点，连结若，，求的长 参考答案 1．解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝1.2米，BE＝CD＝1.8米， 在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9米，AD2＝AE2+DE2， ∴AD＝（米）， 2.解：是线段的垂直平分线， ，，，， ，在中，，， ，，， ， 3.解：连接，，，， ， 又，， ， 是直角三角形，，，， 又，，的度数是． 4.解：，，，又， ，是直角三角形且， ，，又点为的中点，． 5.AE=BC=2BD=4 6．4 7.①证明：如图，连接AM、CM， ∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，∴AM=CM=BM=DM= BD，∵N是AC的中点，∴MN⊥AC； ②解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，∴BD= =20， ∴AM= ×20=10，∵AC=16，N是AC的中点，∴AN= ×16=8， ∴MN= =8． 　　 8解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB， ∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，而64＋36＝100，∴PB2＋PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝×6×8＋×62＝24＋9． 9.解：是的中点，，沿折叠后得到， ，，，在矩形中，， ，在和中， ≌，，设，则，， 在中，，解得． 有特殊三角形必有特殊性质 --大胆猜想，小心求证：Rt△、等腰△，等边△、全等△（2） 夯实基础，稳扎稳打 1．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，求小鸟至少要飞多少米？． 2． 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上． (1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由．(2) 求△ABC的面积． 3．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，求正方形D的面积． 连续递推，豁然开朗 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求： （1）Rt△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）求AB边上的高CD的长． 5．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 6. 如图，在 中，，， 是边 上的中线，点 在 的延长线上，，求 的面积． 思维拓展，更上一层 7. 如图①是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点 ，， 在同一条直线上，且 ．如图②是小床支撑脚 折叠的示意图，在折叠过程中 ... ...