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课件网) 北师大版数学9年级下册培优备课课件 3.3 垂径定理 第三章 圆 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留 小数点后一位）. 探究新知 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O 连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合， CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 C D A B M O 结论 AM = BM 返回 C 1. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是( ) C D A B M O 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AM = BM， 判断下列图形，能否使用垂径定理？ C D A B O C D E O C D A B O 定理中的两个条件缺一不可———直径（半径），垂直于弦 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O C D A B M O CD为⊙O的直径 条件 CD⊥AB AM = BM 结论 CD⊥AB 理由是：连接OA，OB，则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵ OA=OB，AM=BM. ∴ △OAM≌△OBM. ∴ ∠AMO=∠BMO. ∴ CD⊥AB ∵ ⊙O关于直径CD对称， C D A B M O ∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， C D A B M O 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （不是直径） 垂径定理的逆定理 C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径， AM = BM， ∴ CD⊥AB， C D A B M O 还有如下正确结论： CD为直径 CD⊥AB于M AM = BM 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点 O 是 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E 为 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径. O E D C F O E D C F 解：连接 OC . 设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m . ∵ OE⊥CD ， ∴ 在Rt△OCF 中，根据勾股定理， 得 OC2 = CF2 + OF2，即R2 = 3002 +（R – 90）2. 解这个方程，得 R = 545. 所以，这段弯路的半径为 545 m. 1. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长. 【教材P76 第1题】 知识技能 解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸. ∵CD为直径，且CD⊥AB,∴ 寸. 在Rt△AOE中， ∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2， 解得r=13. ∴CD=26寸. 2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值. 【教材P76 第2题】 解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C， 则 . 在Rt△ACO中， 故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6. 3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD ... ...
