洛阳一高2024级1月月考数学试卷 2026.1.7 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知直线与垂直，则实数的值为 A. B.或 C. D.或 2.若等比数列满足，，则数列的公比等于 A.或 B.或 C. D. 3.点到直线的距离的最大值为 A. B. C. D. 4.已知数列满足，，则 A. B. C. D. 5.方程表示的曲线为 A.两个半圆 B.一个圆 C.半个圆 D.两个圆 6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 A. B. C. D. 7.设点，若在圆上存在点，使，则的取值范围为 A. B. C. D. 8.已知，在上，则的面积 有最大值，但没有最小值 没有最大值，但有最小值 既有最大值，也有最小值 既没有最大值，也没有最小值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知实数满足方程，则 A.的最大值为 B.的最小值为 C.的最大值为 D.的最小值为 10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则 该圆锥的体积为 该圆锥的侧面积为 的面积为 11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则 为等腰三角形 以为直径的圆与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知递增的等比数列前项和为，且，则数列的前10项和为_____. 13.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于_____. 14.设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点…)，使，…，组成公差为的等差数列，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． (1)证明：； (2)证明：． 16.(15分)记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 17.(15分)如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：． (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18.(17分)某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…． (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成的形式，其中为常数； (3)求的值（精确到1）． () 19.(17分)已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点． (1)求椭圆的离心率； (2)当，四边形为菱形时，求圆的方程； (3)若直线的斜率乘积为定值，求的值． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 13. 14. 1.【解析】，则，解得或. 故选． 2.【解析】因为等比数列满足，， 设公比为，可得且，解得． 故选． 3.【解析】直线表示经过点，且斜率为的直线， 根据点到直线的距离的定义，可知时，点到直线的距离等于，达到最大值． 故选． 4.【解析】因为，， 所以，得； 由，得； 由，得； 由，得． 故选． 5.【解析】两边平方化简得. 由得或. 当时，方程为， 表示圆心为且半径为的圆的右半圆； 当时，方程为， 表示圆心为且半径为的圆的左半圆. 综上所述，得方程表示的曲线为两个半圆. 故选． 6.【解析1】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角. 因为平面，所以， 又，， 所以平面，所以. 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选. 【解析2】建系 7.【解析】已知点在直线上. 设圆与直线的交点为，显然假设存在点，使， 只需满足. 由于，所以只需在中，， 解得，且. 当时，显然满足条件. 故选． 8.【解析】设曲线上一点为，则，则， ，方程为，即， 根据点到直线的 ... ...
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