1.1 二次根式及其性质 同步讲义（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 1.1 二次根式及其性质 同步讲义 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型1 二次根式的概念】 【例1】（24-25八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·广西桂林·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）二次根式中字母x的取值范围是 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当有意义时，的取值范围是 ． 【题型3 二次根式的双重非负性】 【例3】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖南常德·期末）若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数x满足，则 ． 【题型4 】 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简的结果为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知，化简 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：_____； (2)若等式成立，则a的取值范围是_____； (3)若，求a的值． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）设，，则与的关系为（ ） A． B． C． D． 【题型5 】 【例5】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知的三边长、、满足，求的周长． 【变式5-1】（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【变式5-2】 （24-25八年级下·甘肃武威·期中）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知，求a、b、c的值． 【题型6 规律探究】 【例6】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，… ... ...