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课件网) 第十四章第三节 角的平分线 第十四章第三节 角的平分线 1、角平分线的定义 2、角平分线的性质定理 复习旧知 课题导入 一个关于角平分线的传说 第十四章第三节 角的平分线 第2课时 角的平分线判定 第2课时 角的平分线判定 探究新知 已 知： 求 证： 这个点在这个角的平分线上. 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 命题互换 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等”的题设与结论，探究新命题是否成立。 验 证 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 提出猜想 角的内部到角两边距离相等的点，是否一定位于角的平分线上？ ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 提示：可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 证明：如图，过点 P 作射线 OC. OP = OP， PD = PE， ∴Rt △OPD ≌ Rt△OPE（HL） ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， ∴∠AOC =∠BOC 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角的平分线的判定定理 如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝___cm时，点P在∠AOB的平分线上． P A O B C D E 符号语言 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上，即OP 平分∠AOB 3 巩固练习 例：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； △ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 提示：点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等。要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． 探究新知 C A B M N P E F D 证明： (1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . 三角形的三条角平分线相交于一点，到三角形三条边的距离相等。 三角形三条角平分线的特性 到角两边距离相等的所有点的集合。 角平分线的集合定义 三条角平分线的交点，称为三角形的内切圆的圆心，简称“内心”。 内心定义 知识点 三角形三条角平分线的关系 1. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE. 教材P51 练习 第1题 C A B D E F 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°. 在△ABD 和△CED 中， ∠ADB =∠CDE， ∠ABD =∠CED， AB = CE， ∴△ABD ≌△CED（AAS） ∴BD = ED. 又 AB⊥CD，CE⊥AD， ∴FD 平分∠BFE. (2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 教材P51练习 第2题 2：如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；(2)点 P 在∠A 的平分线上. C A B D E F G P J I H 证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H. ∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上， ∴PI = PJ. 同理，PH = PI， ∴PJ = PI = PH， 即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 提炼归纳 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 3. 如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分 ... ...
