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课件网) 综合与实践 最短路径问题 数学人教版八年级上册 1. 能利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 我们学过的最短有什么呢？ 一、学习目标 本节课我们就要将最短路径问题转化成“两点之间，线段最短”的问题。 复习1：如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ 路线②最短 因为两点之间，线段最短. 二、复习导入 复习2：如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC 最短，因为垂线段最短. 复习3：在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 直角三角形中边的关系：斜边大于直角边. 复习4：如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？ A l A′ 引例 在直线 l 上找到一点C，使得CA+CB最短？ A l B C 引例 在直线 l 上找到一点C，使得CA+CB最短？ A l B C 依据： 两点之间，线段最短。 作法： 连接 AB，与直线 l 相交于点 C，点 C 即为所求. 有关“两点间的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”. A B ① ② ③ P l A B C D 相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从图中的军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”。 B A 三、典型例题1--将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ (1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？ (2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ B l A 实际问题 抽象成 A B l 数学问题 C ？ (1)如图所示，将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线. (2)在直线l上是否存在一点C，满足AC+BC的值最小？ 作图问题：在直线 l 上求作一点 C，使 AC+BC 最短. 实际问题：从A 地到C饮马，再到B 地的路程之和 AC+BC的线段和问题 当C直线l上运动时，C在什么位置时，AC+BC的和最小？ B · · A l C 回忆引例 现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ A l B C 根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求. 连接 AB，与直线 l 相交于点 C. 挑战 如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题 2，如何将点B“移”到 l 的另一侧 B′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等？ A B l 利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′. B ′ 方法揭晓 作法： (1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． A B l B′ C 再来挑战 你能用所学的知识证明 AC + BC 最短吗？ 需要证明AC + BC＜AC′ + BC′ 证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点 C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质可知： BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′ ∴ AC + BC＜AC′ + BC′ 即 AC ... ...
