河南省信阳市固始县高级中学第一中学、固始县高级中学第二中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

河南省信阳市固始县一高二高2024-2025学年高二上学期1月期末 数学试题 一、单选题 1．已知向量，且，则（ ） A． B． C． D． 2．椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（ ） A．10 B．12 C．16 D．20 3．已知双曲线的左 右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 4．已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A．1 B． C． D． 5．已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（ ） A． B． C． D．3 6．已知点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．以下四个命题表述正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点 10．已知曲线：，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则是两条直线 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是椭圆 D．若，则是椭圆，其焦点在轴上 11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ） A．当时，点在棱上 B．当时，点到平面的距离为定值 C．当时，点在以的中点为端点的线段上 D．当时，平面 三、填空题 12．已知实数满足，则的最小值是 ． 13．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 14．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 四、解答题 15．（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 16．已知直线与直线． (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 17．椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点． (1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率； (2)求的面积． 18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点． (1)求直线的方程； (2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：． 19．如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．C 【详解】解：因为向量，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以 故选：C 2．D 【详解】由题意得， 由椭圆定义可知，， 所以的周长为. 故选：D 3．D 【详解】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点， 所以，由解得， 则，而，所以， ， 两边除以得，解得或（舍去）. 故选：D 4．C 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率， 所以，解得. 故选：C 5．B 【详解】因为，为BC的中点， 所以， 又，则，，， 所以. 故选：B. 6．B 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 7．C 【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共 ... ...