合肥十中2025届高三上学期数学第三次绿色评价 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（ ） A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内不存在与平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与平行 D. 内所有直线与都相交 10. 已知复数，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则最小值为3 D. 若且，则，均为纯虚数 11. 已知函数，（ ） A. 函数为单调减函数 B. 函数的对称中心为 C. 若对，恒成立，则 D. 函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量与的夹角大小为_____. 13. 已知，则_____. 14. 设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且，，若，. （1）当时，求实数的值； （2）求的最小值. 16. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 17. 在中，角的对边分别为，且 （1）求角； （2）已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最大值 （2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围 （3）设，数列前项和为．证明： 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. C. 2. A. 3. A. 4. B 5. C. 6. C. 7. A. 8. A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. ACD 10. AC 11. BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. . 13. . 14. . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 16. （1）因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）由（1），故由题意可得， ∵，∴， 故， 所以，即． 17. （1）， ， ，又， ， 所以， 即， ，，. (2)由于， ， ， .. 由正弦定理：，， 因为，所以， 则 令，则，， ， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以 ， 即长度的最大值为. 18. (1)时，， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，. (2)由题意，有两个不等实根， 即有两个不等实根， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，且时，，， 所以当时，方程有两个不等实根， 即函数有两个不同 ... ...
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