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课件网) 专题九 圆的综合题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 (1)证明:∵OD⊥BC于点F,BD与☉O相切于点B,∴BD⊥OB,∴∠OFB=∠OBD=90°. ∵∠HOB=∠BOD,∴△HOB∽△BOD, ∴∠OBF=∠D. ∵∠OBF=∠AEC,∴∠D=∠AEC. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 归纳总结 涉及圆的切线时,①已知切线,连接圆心与切点,然后利用切线的性质及其他知识解决问题;②若要证明某直线是圆的切线,则运用圆的相关性质证明半径与直线所成的角是直角. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 1.(2025·河南模拟) 如图,AC是☉O的直径,点D为☉O上一点,在CD的延长线上取点B,使得AB=AC,过点D作DE⊥AB,交AB于点E,交CA的延长线于点F. (1)求证:DF为☉O的切线; (2)若AE=1,AF=3,求sin B的值. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 (1)证明:如图,连接OD,AD, ∵∠ADC=90°, ∴AD⊥BC. ∵AB=AC, ∴BD=CD. ∵OA=OC,∴OD为△ABC的中位线, ∴OD∥AB. ∵DE⊥AB,∴DE⊥OD,即DF⊥OD. ∵OD为☉O的半径,∴DF为☉O的切线. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型2 生活中的应用 【例2】 (2025·河南南阳模拟)古代纺纱工具———手摇纺车,据推测出现在战国时期,常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成,常见的手摇纺车是锭子在左,绳轮和手柄在右,中间用绳弦传动,称为卧式(如图1).另一种手摇纺车,则是把锭子安装在绳轮之上,也是用绳弦传动,称为立式(如图2).卧式由一人操作,而立式需要两人同时配合操作,因卧式更适合一家一户的农村副业之用,故一直沿袭流传至今.某数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究:纺线时(如图3),木架水平放置,即绳轮☉O与水平面DE相切于点E,线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上,即线绳CD与☉O相切于点C,过切点E的直径与☉O交于点A(图中点O,A,E,D,C在同一平面内). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 图1 图2 图3 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 (1)证明:∵DE,DC是☉O的切线, ∴OC⊥CD,OE⊥ED,∴∠OCD=∠OED=90°. ∵∠OCD+∠OED+∠COE+∠CDE=360°, ∴∠COE+∠CDE=180°. ∵∠COE+∠COA=180°,∴∠AOC=∠CDE. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 归纳总结 解决生活中圆的应用问题,首先要抽象出圆,然后应用圆的基本性质解决问题. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 2.(2025·河南漯河模拟) 【实践课题】通过测量相关距离与角度,计算待建环山路的长度. 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具. 【实践活动】如图,某山的一侧已建成了三段休闲步道,数学实践小组经过现场勘探,画出示意图,休闲步道分别是AB,BC,CD,且A,B,C,D在同一水平面上.经过多次测量,得到如下数据:AB=BC=7.5 km,CD=5 km,∠ABC=106.4°, ∠BCD=126.8°. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路(图中虚线部分). (1)求A,C两点间的距离; (2)求该条待建环山路的长度(结果保留π). (参考数据:sin 53.2°≈0.80,cos 53.2°≈0.60,sin 73.6°≈0.96,cos 73.6°≈0.28) 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 图1 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 3.(2025·河南驻马店模拟)足球运动员带球跑动时有多种路线,比如横向、竖向、斜向等,而竖向跑动(用直线l表示)一般又分为以下两种情况(A,B为门框端点): ①l⊥AB,垂足D在线段AB上: 图1 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 ②l⊥AB,垂足M在线段AB外: 图2 (1)当运动员带球沿图1的l竖向跑动时,请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性(即求证:∠APB>∠AQB); (2)如图2,当过点A,B的☉O与l相 ... ...
